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Mathématiques, classe de 5ème Librairie classique Eugène Belin, Paris 1961
117. Soit le produit 375 * 28. On augmente le multiplicateur de 1. De combien d'unités faut-il augmenter le multiplicande pour que le nouveau produit surpasse le premier de 578 ? Réponse.
      
                        375 * 28 = 10 500
                        le nouveau résultat devrait donc être 10500 + 578 = 11078
                        soit x le nombre qu'il faut rajouter au multiplacande
                        (375 + x) * (28+1) = 11078
                        10875 + 29x = 11078 => 11078-10875 =29x => x= 7

                        vérification :
                        (375 +7) * (28+1) = 10500 + 578 =11078
                        382 * 29 = 11078 ce qui est juste

                    
118. Que devient le produit de 2 nombres quand on multiplie chacun des facteurs par 4 ? Sachant que dans ces conditions le produit a augmenté de 90, en déduire la valeur de ce produit, puis des deux facteurs. Réponse.
       
                        Si on multiplie chacun des facteurs par 4 le résultat est multiplié par 16.
                        soit x et y les facteurs
                        x*y + 90 = 4x*4y
                        15xy = 90 le produit vaut donc 6
                        et les deux facteurs ne peuvent être que 2 et 3
                    
119. Le produit de 2 nombres est 578. Si l'on retranche 7 au multiplicande, le produit devient 459.
Quels sont ces 2 nombres ? Réponse.
 
                        soit x*y le produit :
                        x*y = 578
                        (x-7)*y = 459 
                        xy - 7y = 459
                        578-459 = 7y
                        y= 119/7 = 17 et donc x = 34.
                    
120. Le produit de 2 nombres est 270. Si l'on ajoute 4 au multiplicateur, le produit devient 342.
Quels sont ces 2 nombres ? Réponse.
     
                        x*y =270
                        x*(y+4) = 342
                        xy + 4x = 342
                        270 + 4x =342
                        4x = 342 - 270 = 72 => x= 18
                        y=15

                        vérification :
                        18 * (15+4) = 18*19 = 342
                    
121. On considère le produit 12*8. On ajoute 3 à chaque facteur. Que devient le produit ? Réponse.
 
                        12*8 =   96
                        (a+3)*(b+3)= a*b + a*3 + 3*b + 3*3
                        (12+3)*(8+3) =12*8 + 12*3 + 3*8 + 9 = 165
                    
376. Quelle fraction de 5/7 faut-il prendre pour avoir 3/4 Réponse.
    
                        5x/7 = 3/4 => 21 = 20x => x= 21/20

                        vérification :
                        5/7 * 21/20 = 105/140 = 21/28 = 3/4
                    
377. Par quel nombre faut-il multiplier 5/8 pour avoir 40 ? Réponse.
     
                        5/8 * x = 40 => 5x= 320 => x= 320/5 = 64

                        vérification :

                        (5/8) *64= 5*8 = 40
                    
378. Par quelle fraction faut-il multiplier 24/35 pour avoir 8/15 Réponse.
    
                        24/35*x= 8/15
                        24x*15=8*35 et en simplifiant 9x=7 et x= 7/9

                        vérification :

                        24/35 * 7/9 = 24*7 / 35*9 = 168/315
                        en divisant par 8, numérateur et dénominateur, cela fait bien 7/9
                    
379. On divise 4/5 par une fraction et le quotient obtenu est les 3/7 du dividende.
Quel est le diviseur ? Réponse.
    
                        les 7/3 inverse de 3/7 car 
                        4/5 /x = 3/7 * 4/5 
                        on divise chaque côté par 4/5 :
                        1/x = 3/7
                        et donc  x = 7/3
                    
380. Quelle fraction de 7/9 faut-il prendre pour obtenir les 4/5 de 3/4 Réponse.
   
soit 4/5 * 3/4, on réduit en divisant numérateur et dénominateur par 4 
ce qui fait 1/5 *3 ou 3/5
soit x la fraction à trouver :
7/9 *x = 3/5
x= 3/5 * 9/7 = 27/35

vérification :
7/9 * 27/35 = 3/5
                    
381. Trouver un nombre tel que ses 8/5 diminués de ses 2/15 surpassent ce nombre de 28. Réponse.
 
soit x le nombre 
x*8/5 - x*2/15= x+28 => 24x/15 - 2x/15 = x+28
                        
22x/15 -15x/15 =28
7x/15=28 => x/15 = 4 => x= 60

vérification :
60 * 8/5 - 60 * 2/15 = 96 - 8 = 88 or  60 + 28 = 88
                    
383. Je pense un nombre, j'en prends les 3/4, puis les 5/6 du résultat. Après avoir ajouté 30 à ce nouveau résultat, j'obtiens 200.
Quel nombre ai-je pensé ? Réponse.
soit x le nombre pensé
x * 3/4 * 5/6 +30 =200
15x/24 = 200-30 = 170
x= 170*24/15 = 272

vérification :
272 *3/4 *5/6 =170 or 170+30=200
                    
384. Par quelle fraction multiplie-t-on 5/7, en diminuant de 3 son dénominateur et en augmentant de 2 son numérateur ? Réponse.
soit x la fraction recherchée
5x/7 = (5+2)/(7-3)=7/4
20x=49
x=49/20

ou autre raisonnement

on obtient (5+2)/(7-3) = 7/4
on a donc multiplé le numérateur qui est 5 par 7/5
et multiplié le dénominateur qui est 7 par 4/7 
7/5 * 7/4 = 49/20

vérification  : 

5/7 * 49/20 = 5*49/7*20 = 245/140 = 35/20 = 7/4

                     
385. Un réservoir contient 678 litres 12/21 d'eau destinée à l'arrosage d'un jardin. Le jardinier utilise un arrosoir qui contient 5 litres 3/7. Combien d'arrosoirs pourra-t-il prélever pour vider ce réservoir ?
Réponse.
12/21 = 4/7 eme
puis calculons tout en 7 ème :
678 = 678*7/7 = 4746/7 auquel on rajoute 4/7 = 4750/7 ème de litres contenance du réservoir
l'arrosoir contient 5 litres  3/7 ou 38/7 eme de litre
4750/7 que divise 38/7  = 4750/38 = 125 arrosoirs
Il faudra 125 arrosoirs pour vider le réservoir.                       

 
386. Un litre de lait pèse 1030g; le lait donne 15% de son poids de crème et la crème 25% de son poids de beurre.
Combien de litre de lait faut-il employer pour fabriquer 50kg de beurre. Réponse.
1030g=1,030 kg

le lait donne donc 3,75% de son poids en beurre
soit  x le poids du lait nécessaire
3,75% * x = 50 => x=5000/3,75 = 1333 1/3 de kg
en litres de lait : x/1,03 = 1294,50 litres environ

vérification :
1294,5 litres pèsent : 1333,334 kg
15% = environ 200kg de crème
25% de la crème = 50kg de beurre
                    
387. Une balle élastique, qui rebondit chaque fois au 3/5 de la hauteur d'où elle est tombée, remonte à 27cm après la 3ème chute.
De quelle hauteur est-elle tombée primitivement ? Réponse.
soit x la hauteur primitive
la balle rebondit la 1ere fois de x*3/5
la seconde x*3/5 *3/5 
la troisième x *3/5 *3/5 *3/5 =>  27x/125 = 27 cm comme dit dans l'énoncé
on divise par 27 chaque membre de l'équation : x/125=1
de ce fait x = 125cm ou 1,25m

vérification :
1,25 m * 3/5 = 75cm
75 * 3/5 = 45cm
45 * 3/5 = 27cm

                    
388. Un fonctionnaire subit sur son traitement global les retenues suivantes : 6 % pour la retraite; 3 % pour la Sécurité sociale et il paie 12 % au titre de l'impôt. Il dépense les 4/5 de la somme qui reste pour son entretien, la moitié du nouveau reste pour son loyer.
Sachant qu'il dispose encore de 790 F par an, calculer son traitement brut annuel.
Réponse.
                            
Soit x son traitement brut annuel.
La retenue est de (6+3+12)/100 soit 21%. 
Il lui reste donc 79% de son traitement, soit 79x/100.
Il dépense les 4/5 et donc il lui reste (79x/100) * 1/5 : 79x/500
Il dépense la moitié de ce reste qui devient : 79x/1000
Et comme il lui reste 790F : (79x/1000)=790 =>79x=790*1000; 
donc  x=79000/79 soit 10000F
traitement brut annuel : x=10000F

vérification :
10 000 -21% = 10 000 * 79/100 = 7900F
7900/5 =1580
1580 - 1580/2 = 790F ce qui est exact
                            
389. Une personne achète deux terrains dont le prix total est 4 500 F. Les 2/3 du prix du premier valent les 4/9 du prix du second.
Calculer le prix de chaque terrain.
Réponse.
Soit x le prix du premier et y le prix du second :
x+y=4500 => y=4500-x
2x/3=4y/9 => 6x/9=4y/9 => 6x=4y =>x=4y/6=2y/3
y=4500-2y/3 =>3y/3+2y/3=4500=5y/3
3*4500=5y => y=3*4500/5=2700F et donc x=4500-2700 =1800F
 le premier terrain vaut 1800F et le deuxième 2700F
vérification : 2/3*1800 = 4/9 * 2700 => 1200 = 1200
390. Le périmètre d'un jardin rectangulaire mesure 156 m ; la largeur est les 11/15 de la longueur: calculer les deux dimensions du jardin
Réponse.
2L+2l =156m =>L+l=78m
l=11L/15
L=78-l =78-11L/15 => 15L/15 +11L/15=78 =26L/15 =>L =78*15/26 =45m
l=78-45=33m
l=33m et L=45m

vérification :
2*(L+l)= 2*(45+33) =2*78 = 156m
                            
391. Dans une course à pied quand le premier coureur atteint le but, le deuxième a parcouru les 13/15 du parcours et le troisième les 5/8; le troisième est à 116 m du second; quelle est la longueur du parcours !
Réponse.
soit x la longueur du parcours
le 1er a parcouru x
le 2eme a parcouru 13x/15 = 8*13*x/120 =  104x/120
le 3e a parcouru 5x/8 = 5*15*x/120=75x/120
la difference entre 3 et 2 :  104x/120 - 75x/120 = 29x/120 = 116m (donnée du problème)
29x=116*120 => x=116*120/29 = 480m longueur du parcours

vérification :
13/15 de 480= 416m et 5/8 de 480 = 300m la difference est bien de 116m

                            
392. Un robinet remplit les 5/8 d'un bassin en 3h 3/4.
Pendant combien de temps devra-t-on le laisser couler pour remplir les 2/3 de ce bassin ?
Réponse.
Solution :
5/8 = 15/24
2/3 = 16/24
la difference est de 1/24
s'il faut 3h 3/4 pour 15/24 pour 1/24 il faudra 15 fois moins
or dans 3h 3/4 il y a 15 quarts d'heure
donc il faudra attendre 1 quart d'heure de plus pour complèter aux 2/3 le bassin 
et donc en tout 4h pour remplir aux 2/3 le bassin

                            
393. Trois personnes se partagent une pièce de drap ; la première en prend les 2/5 plus 6 m: la deuxième le 1/3 plus 7 m, enfin la troisième prend les 11 m qui restent.
Combien chacune des personnes a-t-elle eu de mètres?
Réponse.
Soit x la longueur de la pièce de drap :
la première en prend 2x/5 + 6
la deuxième en prend x/3 + 7
la troisième  11m
le total des trois longueurs fait x et donc 15x/15 :
6x/15 + 6 + 5x/15 + 7 + 11 =15x/15
24= 15x/15 - 11x/15= 4x/15
x= 15x24/4= 90m longueur de la pièce de drap
la 1ere : 42m ; la 2eme : 37m ; la 3eme : 11m

vérification :
(90 * 2/5) + 6 = 42m
(90*1/3) + 7 = 37m
                    

394. Deux dactylographes travaillant séparément peuvent faire un travail de copie respectivement en 8 jours et 9 jours. La première ne pouvant fournir que les 2/3 de son travail habituel et la seconde le 1/4 du sien, quel temps faudra-t-il aux deux dactylographes travaillant ensemble pour exécuter cette copie ?
Réponse.
 1ere hypothèse : chaque dactylo reçoit la même quantité de travail :
la première fera donc le travail complet en 8*3/2 = 12 jours
la deuxieme fera donc son travail complet en 9*4 = 36 jours
si chacune fait la moitié du travail, la 1ere mettra 6 jours et la 2eme 18 jours
le travail total sera donc disponible au bout de 18 jours
            
2eme hypothèse : le travail est optimisé par rapport aux capacités des dactylos
soit x le nombre de jours nécessaires :
pour la première dactylo sa courbe de progression en % est :50x/6
pour la deuxième dactylo sa courbe de progression est de 50x/18
quand 50x/6 + 50x/18 =100 le travail sera terminé
et donc 150x/18 + 50x/18 = 100 => 200x/18=100  => x = 9 jours
la première dactylo aura fait 75% du travail à elle seule.
            

PROBLÈMES DE RÉVISION SUR LES FRACTIONS

395. Une fermière à vendu les 3/4 d'un panier d'oeufs pour 63 F à raison de 3 F la douzaine.
Combien le panier contenait-il d'oeufs ?
Réponse.
Soit x le nombre d'oeufs
3x/4 valent 63F
et donc le 1/4 vaut 63/3 = 21F
les 4/4 valent par conséquent 21*4 = 84F
à 3F la douzaine
84/3 = 28 douzaines = 336 oeufs

                            
396. Quatre roues s'engrènent successivement et chacune d'elles n'a que les 2/3 du nombre des dents de la roue qui la précède: la plus petite 48 dents.
Combien de dents a la plus grande ?
Réponse.
1ere roue x
2eme roue 2x/3
3eme roue 2/3(2x/3)=4x/9
4eme roue 2/3(4x/9) = 8x/27 =48
x= 48*27/8 = 162 dents pour la plus grande
                        
397. Un réservoir est plein d'eau, on en retire les 2/3 des 3/5. Il contient encore 54,3 hl.
Quelle est la capacité de ce réservoir ?
Réponse.
soit x la capacité du réservoir
on en retire 2/3 * 3x/5 = 6x/15 = 2x/5  
il reste les 3/5  =>  3x/5=54,3
x=54,3 * 5/3 = 90,5 hl

                        
398. Un négociant déclaré en faillite ne peut donner que les 2/5 de ce qu'il doit à ses créanciers. S'il avait 9800F de plus il pourrait acquitter les 75/100 de sa dette.
Quelle somme possède-t-il ?
Réponse.
Soit x la somme due :
il peut donner 2x/5 ou 40x/100
s'il avait 40x/100 + 9800 il pourrait acquitter 75x/100 soit :
 40x/100 + 9800 = 75x/100  soit 35x/1000 = 9800
x= 9800*100/35 = 28 000F montant de la dette
comme il possédait les 2/5 de 28 000F cela donne : 11 200F

vérification :
si la dette est bien de 28 000 F alors les 2/5  11 200F
et 11 200 + 9800 =21 000F et 21 000 = 75% de de 28 000 ce qui est exact
                        
?
399. Jeanne achète les 3/5 d'une pièce de toile;Marie achète la moitié du reste. Jeanne constate qu'elle a eu 8 m de plus que Marie.
1° Quelle longueur de toile chaque personne a-t-elle achetée ?
2° Combien chacune a-t-elle dû payer, si le mètre de toile vaut 5 F ?
Réponse.
Soit x la longueur de la pièce
Jeanne a les 3/5 de x
Marie a la moitié des 2/5 qui restent, soit x/5
Jeanne a 8m de plus que Marie
x/5 + 8= 3x/5 =>2x/5=8 => x=20m
Jeanne les 3/5 : 12m
Marie 1/5 : 4m
Jeanne a payé 12 *5 =60F
Marie a payé : 4*5 = 20F 

                        
400. Le réservoir d'une automobile peut contenir 50 litres d'essence. Au départ, il est plein aux 4/5. La voiture parcourt 250km ; le Réservoir n'est alors plein qu'aux 3/10.
1° Combien d'essence la voiture consomme-t-elle aux 100 km?
2° Quelle distance pourrait-elle parcourir si le réservoir était plein au départ?
Réponse.
au départ il contient 4/5 * 50 = 40l
il reste après 250km dans le réservoir : 3/10 *50= 15l
1° la voiture a consommé 25l pour 250km soit 10l au 100km
2° avec 50l elle peut parcourir 500km

                            
401. Après avoir tiré les 2/5 d'un tonneau de vin, puis les 2/13, le reste du vin est estimé 87 F.
Ouelle est la valeur du vin qui remplit ce tonneau ?
Réponse.
soit x la contenance du tonneau
2/5=26/65
2/13=10/65
on a retiré du tonneau les 36/65 il reste donc 29/65 = 87f
87*65/29 = 195 F
                            
402. Trois personnes se partagent un héritage. La première a les 3/11 pour sa part. Les autres se partagent le reste, soit 32 000 F. Le deuxième héritier dépense les 2/7 de sa part et le troisième les 4/9 de la sienne. Il leur reste alors des sommes égales.
On demande quel est l'héritage et quelles sont les parts des trois héritiers.
Réponse.
1) soit x l'héritage
le reste est de 8x/11 =32 000 => x=32000*11/8
l'héritage est donc de 44 000 F

2) soit x la part du 2eme et y la part du 3eme
x + y = 32000 => y= 32 000 - x
il leur reste 5/7 pour l'un et 5/9 pour l'autre et ces sommes sont égales :
5x/7 = 5y/9 => 45x/63 = 35y/63 => 45x=35y
on remplace y par (32000-x) => 45x = 35*(32000 - x) => 45x+35x = 80x = 35*32000
x=35*32000/80
x= 14 000 F
y= 32000-x = 32000-14000 = 18 000 F et donc
le premier a reçu 12 000 F
le second a reçu 14 000 F
le troisième a reçu 18 000 F


                            
403. Les deux aiguilles d'une montre sont sur midi. A quelle heure se retrouveront-elles pour la première fois l'une sur l'autre? Combien de fois en 12 heures se rencontreront-elles ainsi?
Réponse.
Une fois par heure la petite et la grande aiguille sont l'une sur l'autre.
Après 12h la prochaine fois sera entre 13h05 et 13h06
En 12 heures 13 fois si on compte la position de départ sinon 12 fois.
                        
404. Un épicier a vendu le 1/5 d'un fût d'huile, puis 1/3 et enfin 9 litres. Quelle est la contenance de ce fût sachant qu'il reste 15,5 litres d'huile.
Réponse.
soit x la contenance du fût :
x/5 + x/3 + 9 + 15,5 = x
3x/15+5x/15 +24,5 =x
15x/15 - 8x/15 = 24,5 =7x/15
x=24,5*15/7 
x = 52,5 litres

                        
405. Le 1/3 plus le 1/5 d'un segment de droite représente une longueur de 22,4 cm.
Quelle est la longueur de ce segment?
Réponse.
                            1ere solution :
soit x la longueur du segment
x/3 + x/5 =22,4
5x/15 + 3x/15 = 8x/15 =22,4
x=22,4*15/8
la longueur du segment est : 42 cm
                            
                            2eme solution :
                           
1/3=5/15  et 1/5=3/15 => leur somme fait 8/15 
si 8/15 =22,4 alors 15/15 = (22,4/8)*15 soit 42cm

                            
406. Un ouvrier est venu réparer la toiture de ma maison. Le 1er jour il a fait 1/3 de l'ouvrage le 2e jour le 1/4 du reste.
Quelle fraction de l'ouvrage lui reste-t-il à faire ?
Quel sera le montant total de la réparation si l'ouvrier m'a demandé 180 F pour la 1ère journée?
Réponse.
1er jour 1/3 = 2/6
2eme jour 1/4 * 2/3 = 1/6
il lui reste donc 3/6, c'est à dire la moitié, à faire
si la première journée de 2/6 coûte 180F alors 1/6 de l'ouvrage coûte 90F
le total sera 6/6 => 6*90 = 540F
407. Un drapier a vendu successivement le 1/6 , les 2/7 et les 3/8 d'une pièce d'étoffe. Le reste est vendu 25 F le mètre et a produit 435 F. Quelle était la longueur de la pièce ?
Réponse.
soit x la longueur de la pièce :
1x/6 + 2x/7 + 3x/8 = 28x/168 + 48x/168 + 63x/168 = 139x/168
435/25= 17,40 m
139x/168 + 17,4 =168x/168
168x/168-139x/168=29x/168 =17,4
168*17,4/29=100,8 m
la longueur de la pièce est de 100,8m
                             
408. Trois personnes se partagent un champ mis en vente par son propriétaire. La première en prend les 2/5 plus 12 ares, la deuxième le 1/3 plus 14 ares, enfin la troisième prend les 22 ares qui restent.
1° Calculer l'aire de chaque parcelle et son prix à 11 500 F l'hectare.
2° Le propriétaire a réalisé un bénéfice égal aux 6/17 du prix qu'il avait lui-même payé le champ.
Calculer son gain.
Réponse.
soit x la surface du champ en ares
la 1ere parcelle : 2x/5 + 12
la 2eme x/3 + 14
la 3eme 22 ares

6x/15 + 5x/15 + 48 = x => 15x/15 - 11x/15 = 48
4x/15 = 48 => x= 48*15/4 = 180 ares ou 1,8ha
et donc :
la surface de la première parcelle est de 2x/5 + 12 : 
     84a et son prix 9660F (11500*0,84)
la surface de la deuxième parcelle est de x/3 + 14 : 
     74a et son prix 8510F (11500*0,74)
la surface de la 3eme étant de 22a son prix est de 2530F (11500*0,22)

prix de vente : 11500*1,8= 20 700 F

soit y le prix payé par le propriétaire
17y/17 + 6/17y = 20700 => 23y/17=20700
y=20700*17/23 =15 300 F
gain 20 700 - 15 300
gain 5400 F
                             

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