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Mathématiques, classe de 5ème Librairie classique Eugène Belin, Paris 1961
563. En roulant à une certaine vitesse, un cycliste met 9 heures pour faire un voyage. Au retour, sa vitesse est supérieure de 4 km par heure; il met 2 heures de moins.
Quelle a été la vitesse horaire de ce cycliste à l'aller ? Réponse.
                    soit v la vitesse à l'aller donc au retour la vitesse est v + 4 
                    au retour il met 7h
                    distance parcourue à l'aller : v*9
                    distance parcourue au retour (v+4)*7
                    9v=7v+28
                    2v=28 => v = 14 km/h (distance parcourue 14 * 9 = 126 km  ou  18 * 7 = 126km  )
                
564. Une banque a encaissé 84 630 F en 3 jours. Elle a encaissé chaque jour 1/5 de plus que la veille.
Quelle somme a-t-elle reçue le premier jour ? Réponse.
                    soit x ce qu'elle a encaissé le premier jour
                    le second jour elle a encaissé : x +1x/5  = 6x/5 = 30x/25
                    le troisième jour elle a encaissé : 30x/25 + 1/5 * 6x/5 = 30x/25 + 6x/25=36x/25
                    elle a encaissé en tout :
                    25x/25 + 30x/25 + 36x/25 =91x/25 = 84630
                    x= 84630 * 25/91 = 23250F
                    elle a encaissé le 1er jour la somme de 23 250F
                
565. Une personne dépense d'abord 710 F, puis les 3/8 de ce qui lui reste; elle possède alors 1 900 F.
Quel était son avoir primitif ? Réponse.
                    soit x son avoir primitif
                   après avoir dépensé 710F il lui reste x-710
                    elle en dépense 3/8 soit: (x-710) * 3/8= (3x/8 - 2130/8)
                    710 + (3x/8 - 2130/8) + 1900 = 2610 + 3x/8 - 266,25 = x
                    2343,75 = x-3x/8= 5x/8
                    (2343,75 *8)/5 = 3750 F

                    vérification: 
                    3750 -710 = 3040 
                    3040 * 3/8 = 1140
                    ce qui fait bien :
                    3750= 710 + 1140 +1900 
                
566. Un flacon vide pèse 60 g. On y verse de l'eau et de l'huile. Le flacon étant plein, l'eau occupe les 3/5 de la capacité totale; le flacon pèse alors 588 g. Le poids volumique de l'huile est 0,9 kg/dm3.
Calculer la capacité du flacon. Réponses.
                    soit x la capacité du flacon (1 litre = 1dm3)
                    poids du liquide 588-60= 528 g ou 0,528 kg
                    volume d'eau : 3x/5 et poids d'eau 3x/5 kg
                    volume d'huile 2x/5 et poids de l'huile = 2x/5 * 0,9 = 1,8x/5
                    3x/5 + 1,8x/5 = 4,8x/5= 0,528kg => x= 0,528*5/4,8 = 0,550 => 0,550 litres ou 5,5 cm3

                
567. Un garagiste a débité les 3/4 d'un fût d'essence de tourisme et les 2/3 d'un réservoir d'essence pour poids lourds. La capacité du réservoir dépasse de 100 litres celle du fût. Le réservoir contient alors le double de ce qui reste dans le fût.
Calculer la contenance du fût et les quantités vendues de l'une et l'autre qualité. Réponse.
                    - soit x la capacité du fût ; il a été débité 3x/4 et il en reste x/4
                    - la capacité du réservoir est de x + 100 ; il en a été débité (x+100)*2/3 et il en reste (x+100)/3
                    - 1/3 du reste du réservoir soit 1/3(x+100) est égal au double du reste du fut 2* x/4
                    - donc 1/3(x+100) = 2* x/4
                    - x/3 + 100/3 = x/2 ou encore 2x/6 +100/3 = 3x/6 ou x/6=100/3 ou 3x=600
                    - x = 200 litres c'est la capacité du fût
                    - 300 litres est donc la capacité du réservoir
                    - il a été vendu les 3/4 du fût soit 150 litres et les 2/3 du réservoir soit 200 litres

                
568. Un caissier a déboursé les 3/8 de ce qu'il avait en caisse; d'autre part il a reçu 870 F de sorte que la valeur primitive de l'encaisse se trouve augmentée du 1/4.
Combien avait-il primitive- ment en caisse ? Réponse.
                    soit x la valeur primitive de l'encaisse
                    il est enlevé les 3/8 et il reste 5x/8
                    il rajoute 870F et 870 = x+ x/4 = 5x/4
                    5x/4 = 870 => 870*4/5=x
                    x=696 F valeur primitive de l'encaisse.
                
569. Un joueur, sortant du jeu, dit qu'il a perdu les 3/4 de son argent et qu'il lui en resterait le 1/3, s'il avait perdu 6 F de moins.
Quelle somme avait-il au début du jeu ? Réponse.
                    soit x le montant qu'il avait au début
                    il a perdu 3x/4 
                    s'il avait perdu [3x/4 - 6] il aurait perdu les 2/3 doit 2x/3 (car il lui resterait 1/3)
                    donc 3x/4  - 6 = 2x/3 ou 9x/12 - 8x/12 = 6 ou encore x/12 = 6
                    x= 72 F
                
570. Une marchande achète des oranges à raison de 22,50 F le cent; elle en revend les 2/5 à 0,30F pièce et le reste à raison de 6 oranges pour 1,40 F. Elle gagne ainsi 42,35 F.
Combien d'oranges avait-elle achetées ? Réponse.
                    soit x le nombre d'orange achetées
                    elle en revend pour 2x/5 * 0,30F pièce
                    elle en revend pour 3x/5 * 1,40/6 pièce
                    et donc [2x/5 * 0,30] + [3x/5 * 1,40/6] = 42,35 + 22,50 *x/100 [  prix de vente = bénéfice + prix de revient]
                    ce qui fait 0,12x + 0,14x = 42,35 + 0,225x
                    0,26 x - 0,225x= 42,35 => 0,035x = 42,35 => x = 42,35/0,035
                    x= 1210 oranges achetées
                
571. Un garagiste avait engagé un jeune ouvrier auquel il avait promis pour l'année 2 520F et une bicyclette. Au bout de 9 mois l'ouvrier se retire, il reçoit 1 845 F et conserve la bicyclette.
Quelle est la valeur de cette bicyclette ? Réponse.
                    soit x la valeur de la bicyclette
                    le garagiste devait payer par mois 2520/12 et x/12 soit 210 + x/12
                    pour 9 mois le garagiste paye 1845 F et la bicyclette: 9*(210 + x/12)=1845 + 12x/12
                    1890 + 9x/12 = 1845 + 12x/12
                    1890-1845= 3x/12 = 45
                    3x = 12*45 => x= 4*45 = 180 F
                
572. Un libraire vend 5 arithmétiques, 4 histoires, 10 géographies. L'histoire coûte 0,30 F de plus que l'arithmétique et la géographie coûte les 2/3 de la somme des prix de l'histoire et de l'arithmétique. Le montant de la vente s'élève à 164 F. Q
uel est le prix d'un livre de chaque catégorie ? Réponse.
                    soit x le prix du livre d'histoire
                    ari = x - 0,30  
                    geo = 2/3 ( 2x -0,30) => (4x-0,60) /3 = 4x/3 - 0,20  

                    il a vendu 5 * (x-0,30) + 4x + 10*(4x/3 -0,20)
                    5x - 1,50 + 4x + 40x/3 - 2 = 164
                    15x/3 + 12x/3 + 40x/3 =164 +2 + 1,50
                    67x/3 = 167,50
                    prix des livres :
                    x= 3*167,5 /67 = 7,50 F prix du livre d'histoire
                    le livre d'arithmétique coûte 7,5 - 0,3= 7,20 F
                    le livre de géographie coûte 2/3(7,5 + 7,20)= 9,80 F

                
573. Un capital placé à 4 % est remboursé au bout de 5 ans, capital et intérêt simple réunis. Le montant du remboursement est 5 400 F.
Quel était le montant du capital placé ? Réponse.
                    soit x le capital
                    les intérêts simples seront de x * 4/100 *5 = x/5
                    x+x/5 =5400
                    6x/5 = 5400
                    x = 5400*5/6 = 4500 F de capital placé

                
574. La vitesse du son dans l'air est 340 m/s et dans l'eau 1 420 m/s. Un baigneur entend le bruit d'une explosion qui s'est produite à la surface de l'eau. Ce bruit lui est transmis d'abord par l'eau, puis par l'air 13,5 secondes après.
A quelle distance se trouve-t-il du lieu de l'explosion ? Réponse.
                    soit x la distance du lieu de l'explosion
                    pour parcourir les x mètres il faudra dans l'air : x/340 s
                    pour parcourir les x mètres dans l'eau il faudra : x/1420 s
                    x/340 -x/1420 = 13,5
                   (1420-340)x /482800 = 13,5
                    1080x/482800=13,5 => x=13,5 * 482800/1080 = 0,0125 * 482800 = 6035 m
                    vérification :
                    le nageur entendra le son dans l'eau au bout de 4,25s
                    le nageur entendra le son dans l'air au bout de 17,75s c'est à dire 13,5s après le son dans l'eau.
                   


                
575. Deux capitaux de même valeur ont rapporté un intérêt total de 621 F. L'un a été placé pendant 15 mois à 4,5 %, l'autre pendant 9 mois à 4 %.
Quelle est la valeur commune de ces capitaux ? Réponse.
                    soit x un capital , les intérêts générés peuvent s'écrire :
                    (x * 0,045 *15/12) + (x*0,04*9/12)= 621
                    0,05625 x + 0,03 x=621
                    0,08625x=621
                    x=621/0,08625 =9936 F
                
576. Une personne dispose de 2 h 25 mn pour faire une promenade. Son voisin qui va dans la même direction l'emmène dans sa carriole à la vitesse de 12 km/h. De là la personne revient à pied. A quelle distance de son point de départ cette personne doit-elle quitter la voiture pour être de retour à l'heure fixée, si elle ne fait que 4 km/h en revenant à pied? Réponse.
2h25 = 145mn = 8700s (1/4 du temps = 2175s)
                    12km/h =12/3600 km/s ou 1/300 km/s

                    le piéton va 3 fois moins vite que la cariole<
                    la distance parcourue à l'aller par la cariole est la même que le retour à pied
                    de ce fait 1/4 du temps sera parcouru en cariole quand les 3/4 le seront à pied
                    1/4 du temps = 145/4 minutes soit 36 minutes et 15 secondes ou 2175s
                    en 2175 secondes la cariole parcourera (1/300)*2175 = 7,25 km
                    Distance du point de départ 7,25 km


                
577. Une ménagère achète 8 kg de groseilles à 0,60 F le demi-kilogramme. Ces groseilles rendent les 7/10 de leur poids de jus. Le sucre vaut 1,20 F le kg et la ménagère met autant de sucre que de jus pour faire de la gelée. A la cuisson, la gelée perd 1/7 de son poids primitif. A combien revient le kilogramme de gelée?
Réponse.
les groseilles coûtent : 8*2*0,60= 9,6 F
                    7/10 de 8kg font 5,6kg de jus et coûteront en sucre 5,6*1,20=6,72F
                    sucre+gelée =  11,2 kg et coûtent 9,6 + 6,72 =16,32 F
                    il reste les 6/7 en poids après cuisson : 11,2 * 6/7 = 9,6 kg
                    le kilo de gelée revient donc à 16,32F/9,6kg = 1,7 F
                    
                    
578. Pour acheter un cheval, un vigneron vend une partie de sa récolte de vin. S'il ne vend que 4 barriques de vin, il manquera à la somme ainsi obtenue 1/25 du prix du cheval. Il vend alors 5 barriques. Sur le produit de la vente, il paie le cheval et il lui reste 180 F. Trouver le prix du cheval et le prix d'une barrique de vin. Réponse.
                        soit x le prix de la barrique de vin
                        soit y la prix du cheval
                        4x = (24/25) *y => x= 6y/25 
                        5x= y + 180 => y=5x-180 
                        5y/5= 6y/5 -180
                        1y/5=180 => y = 900 F prix du cheval 
                        x= (6*900)/25 = 216 F prix de la barrique de vin

                    
579. Vous achetez chez un libraire un livre 5 F, un carnet 0,30 F, un crayon 0,40 F, une règle 0,30 F, 5 feuilles de papier à dessin à 0,20 F l'une. Le libraire vous rend 3,70 F sur le billet de 10 F que vous lui avez donné. 1° Combien avez-vous dépensé? 2° Quelle remise vous a-t-il consentie ? 3° A combien se monte-t-elle pour cent ? Réponse.
1° j'ai dépensé 10F-3,70F= 6,30F
2° j'aurai dû payer : 5 + 0,30 + 0,40 +0,30 +5*0,20 = 7F
3° la remise est de 0,70F et donc de 10%



                    
580. Un commerçant a acheté 15 bicyclettes au prix de 215 F pièce. L'emballage et le transport lui ont coûté en tout 142,50 F. Il a complété l'équipement de chaque cycle en y plaçant l'éclairage, ce qui lui coûte 7,50F pour chacun. En outre, les frais généraux de son commerce se montent à 1/5 du prix d'achat (on ne compte pas les frais généraux sur les frais de transport et d'emballage).
1° Calculer le prix de revient d'une bicyclette.
2° Le commerçant vend 14 bicyclettes à raison de 360 F l'une; calculer son bénéfice par bicyclette.
3° Il revend la dernière à un ami au prix de revient; calculer son bénéfice total sur les 15 bicyclettes.
Réponse.
1° frais généraux par bicyclette : (215 + 7,50) *1/5 = 22,50/5 = 4,50F
2° emballage et transport par bicyclette : 142,50/15 = 9,5 F
3° prix de revient de chaque bicyclette : 215 + 4,50 + 9,50 = 229F
4° bénéfice par bicyclette : 360-229 = 131 F
5° il vend pour 14*360 + 229 = 5269F
6° le prix de revient total étant de 15*229 soit 3435F 
7° le bénéfice total sur 15 bicyclette est donc égal à : 5269-3435 = 1834F

581. On veut échanger un champ rectangulaire de 75 mètres de longueur et 60 mètres de largeur contre un champ triangulaire de même aire, ayant 75 mètres de base. Quelle doit être hauteur de ce champ triangulaire ? Réponse.
                    la surface du champ rectangulaire est de 75*60 = 4500m2
                  
                    soit h la hauteur 
                    la surface vaut 75/2 * h = 4500 =>h= 9000/75 = 120m
                   
                
582. Une ruche se compose d'un parallélépipède à base carrée de 5 décimètres de côté, surmonté d'une pyramide de même base qui a 21 centimètres de hauteur. La hauteur du parallépipède est de 40 centimètres. Quel est le volume de cette ruche? Réponse.
5dm = 50cm
le volume du parallépipède est de 50*50*40 = 100 000 cm3
le volume de la pyramide de 50 *50*21/3 =17500 cm3
le volume total est de 117 500 cm3 ou  117,5 dm3
                
583. Un toit de 15 mètres sur 10 mètres est recouvert d'une couche de neige de 8 centimètres. On demande : 1° le poids de cette neige;
2° la hauteur à laquelle s'élèvera dans un réservoir de forme cubique de 2 mètres d'arête, l'eau résultant de la fusion de cette neige.
Poids volumique de la neige : 0,078 kg/dm3. Réponse
                volume de neige : 15*10*0,08 = 12 m3 ou 12 000 dm3
poids de la neige : 12 000 * 0,078 = 936 kg volume d'eau correspondant à 936 kg
584. Un champ rectangulaire est clôturé par trois rangs de fil de fer que soutiennent les piquets. Sur l'un des côtés du champ, on voit 25 piquets, sur l'autre 40 piquets 1° Combien de piquets comporte cette clôture ? 2° Les piquets étant espacés de 2,50 m, quelle est la longueur de la clôture ? 3° Combien a-t-il fallu de mètres de fil de fer pour l'établir? Réponse.
                    il y a 4 piquets aux  coins du champ
                    il reste 23 piquets pour une  largeur soit 46 piquets
                    il reste 38 piquets pour une longueur soit 76 piquets
                    le nombre de piquets est : 4 + 46 + 76 = 126 piquets
                    il y a 39 intervalles sur une longueur et donc 78 intervalles et en longueur 78*2,5 = 195m
                    il y a 24 intervalles sur une largeur soit 48 intervalles ce qui fait 48 *2,5 = 120m
                    la longueur de la cloture est de 195+120= 315m
                    il a fallu 3*315m soit   945m de fil de fer

                

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