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Mathématiques, classe de 5ème Librairie classique Eugène Belin, Paris 1961
600. La roue avant de ma bicyclette a 70 cm de diamètre et la roue arrière 65 cm.
1° Quand la roue avant a fait exactement 100 tours, combien de tours (nombre entier et fraction s'il y a lieu) a fait la roue arrière ?
2° Quand j'ai roulé pendant 11 km, combien de tours entiers a fait chaque roue ?
3° Quand la roue avant a fait 1 000 tours, combien de kilomètres ont été parcourus ?
Réponse.
la roue avant a une circonférence de pi*d= pi*0,70 = 2m199
au bout de 100 tours le velo aura avancé de 100*2,199=219m9
la roue arrière a une  circonférence de pi*d= pi*0,65 = 2m042
1° la roue arrière aura fait (70/65) * 100 tours =>
(14/13) * 100 = 100  + 100/13 = 107 tours + 9/13
    
2° 11 000m/(2,199) = 5002 tours pour la roue avant 
et 11 000m/(2,042) = 5386 tours pour la roue arrière

3° 1000 * 2,199 = 2,199 km
                    
601. Une auto porte un compteur kilométrique, un compteur d'essence et une montre. Au départ le compteur kilométrique marque 5 925 le compteur d'essence 15, la montre 8 h 55 mn. A l'arrivée les mêmes appareils marquent respectivement : 6 000; 9; 9 h 45 mn.
Calculer la consommation d'essence aux 100 km et la vitesse horaire. Réponse.
la voiture a parcouru 6000-5925 = 75km
la voiture a consommé 15-9 = 6 litres
nombre de minutes écoulés : 9h45 - 8h55 = 50mn
la voiture a consommé 6 litres pour 75 km et donc 6*100/75 = 8 litres
vitesse horaire : 75*60/50 = 90 km/h

                    
602. Un automobiliste veut faire un trajet de 390 km en 6 heures. Au bout d'une heure et demie, il s'aperçoit qu'il a fait en moyenne 56 km par heure.
Quelle doit être sa vitesse horaire moyenne dans la seconde partie du trajet, s'il veut arriver dans les délais fixés ? Réponse.
au bout d'1h30 il aura parcouru 56 + 28 = 84 km ; 
il lui reste 4h30 pour parcourir 390 -84 = 306km
il devra donc parcourir la distance restante à la vitesse de  : 306/4,5= 68 km/h
                   
603. Un train de 100 m de longueur traverse un tunnel à la vitesse de 36 km par heure. Entre le moment où la locomotive s'engage et celui où le fourgon de queue en sort, il s'écoule 8 mn 20 s.
Calculer la longueur du tunnel. Réponse.
                        
le train va à la vitesse de 36/60 km/minute soit 0,6 km/mn
8mn20 = 8mn + 1/3 mn
en 8mn et 1/3 il aura parcouru 0,6*8 + 0,6/3 =4,8 km +0,2 = 5km
le train a parcouru 100m de plus que la longueur du tunnel qui fait donc 4,9km

                    
604. Chaque fois qu'un élève est premier en composition, son père lui donne 0,50 F, mais toutes les fois qu'il a un autre rang, il doit rendre 0,20 F à son père. Au bout de 21 compositions, l'élève possède 7 F.
Combien de fois a-t-il été premier? Réponse.
soit x le nombre de fois où il a été premier
il a donc reçu : (x * 0,50)
il n'a pas été premier (21-x) fois et il a donc rendu (21-x) * 0,20
x*0,50 - (21-x) * 0,20 = 5x/10 - 4,20 + 2x/10 = 7
7x/10 =11,20
x=112/7 = 16 fois
                    
605. Pierre et Jean habitent deux villages A et B distants de 42,5 km. A la même heure, 9 h, Pierre part de A à bicyclette et fait 15 km par heure. Il roule pendant 1/2 heure, s'arrête 10 minutes et repart à la même vitesse. Jean part de B en vélomoteur et fait 30 km par heure. Il arrive en A sans s'arrêter.
1° A quelle heure chacun sera-t-il arrivé à destination ?
2° A quelle heure se rencontreront-ils ? Réponse.
1° Pierre parcourt les 42,5 km en : 60*42,5/15 +10mn = 180 mn soit arrivée à 12h
    Jean parcourt les 42,5 km en : 60*42,5/30 = 85mn soit arrivée à 10h25
2° 1ere solution
Pierre fera d'abord 7,5 km en 1/2 heure puis à 9h30 il s'arrêtera 10 mn et donc il repart de C à 9h40 et fera les 35km restant
Jean sera à 9h40 en D à 30*40/60 = 20km de son point de départ B et donc à 22,5 km de A
Ils se croiseront donc dans la deuxième partie du trajet de Pierre
à 9h40 Pierre sera à 7,5 km de son point de départ et Jean à 20km de B ils seront séparés de 42,5 - 7,5 - 20= 15km
 Pierre allant deux fois plus vite que Jean ils se rencontreront aux 1/3 de la distance 
séparant C de D soit à 5 km de C ou 12,5 km de A
sachant que 15 km séparent Pierre et Jean à 9h40 alors :
15t/60=15-30t/60 => 45t/60=15 => t = 15*60/45 = 20mn après 9h40 et donc la rencontre a lieu à 10h.


2° 2eme solution :
t étant la durée écoulée depuis 9h en minutes:
la courbe de Jean par rapport à A est 42,5 - 30t/60,  
la courbe de Pierre par rapport à A sera de 15t/60 - 150/60 (150/60 est la distance non parcourue par Pierre durant les 10 mn d'arrêt)
42,5 -30t/60 = 15t/60 -15/6
45 = 45t/60
t=60mn soit 1 heure plus tard = 10h



                    
606. Deux cyclistes partent en même temps d'un village A pour se rendre à un village B situé à 16,2 km. La vitesse du premier est de 18 km par heure et celle du second de 14,4 km/h. Le premier cycliste va jusqu'au village B et revient vers A.
A quelle distance du village rencontrera-t-il le second cycliste ? Réponse.
le premier cycliste aura parcouru les 16,2 km en 54 mn
au bout de 54 mn le 2eme cycliste aura parcouru 14,4*54/60 : 12,96 km
à ce moment là les cyclistes sont séparés de 3,24 km

ils se rencontreront au bout de :
18t/60 = 3,24*60/60 -14,4t/60
18t+14,4t = 3,24*60 =194,4 = 32,4t = 6mn

le premier cycliste allant à la vitesse de 18 km/h il parcourera, en 6mn, 1,8 km
le premier cycliste sera donc à 1,8 km du village B en se dirigeant vers A 



                    
607. Une piste circulaire a 1 800 m de périmètre. D'un même point, mais en sens contraire, partent deux cyclistes, Robert et Michel. Robert fait 18 km/h et Michel 27 km/h.
1° Indiquer à quelle distance du point de départ ils se croiseront pour la première fois et quelle fraction de tour chacun aura alors parcourue.
2° Quelle distance chacun aura-t-il parcourue lors du troisième croisement et à quelle distance du point de départ ce troisième croisement aura-t-il lieu ? Réponse.
1800m = 1,8 km
                        1ere solution :

si la vitesse cumulée de Robert et Michel représente 5/5 alors celle de Robert représente les 2/5 et celle de Michel les 3/5.
Il se croiseront donc aux 3/5 du parcours de Michel soit au bout de 1080m ou au 2/5 du parcours de Robert soit 720m.
Lors du 3eme croisement Robert aura parcouru 720m * 3 =  2160 m et Michel 3* 1080 =  3240m
Robert sera à 2160-1800= 360m de son point de départ.
Michel sera à 3240-1800= 1440 m de son point de départ.

2eme solution :
1a) distance parcourue en fonction du temps t en minutes pour :
Robert : 18/60 * t
Michel qui va en sens inverse: 1,8 - 27/60 * t 
ils se croiseront toutes les t minutes lorsque :
18/60 * t = 1,8*60/60 -27/60  * t
45t/60 = 108/60 => t=108/45 = 2,4 mn = 2mn 24s
ils se croiseront donc toutes les 2mn24
1b) au bout de 2,4 minutes Robert aura parcouru 18/60 *2,4 = 0,72 km => fraction de tour 0,72/1,8 = 0,4 soit 40%
au bout de 2,4 minutes Michel aura parcouru 27/60 * 2,4 = 1,08 km 1,08/1,8= 0,6 soit 60%
2a) le troisième croisement aura lieu au bout de 2 mn24s * 3 = 6mn  72s = 7mn 12s = 7,2 minutes
2b) Robert aura parcouru 18/60*7,2 =2,16 km il sera à 360m de la ligne de départ
    Michel aura parcouru 27/60 *7,2 = 3km24  il sera à 1440 m de la ligne de départ

1800/3=600m
                    
608. Un terrain a été vendu 26 460 F à raison de 500 F l'are. Quelle est son aire en mètres carrés. Ce terrain a la forme d'un trapèze dont la hauteur est 72 m. La grande base est le double de la petite. Calculer les deux bases. Réponse.
il y a : 26460/500 =   52,92 ares ou 5292 m2
la surface du trapèze est égale à :
72a + 72a/2=5292
72a+36a =5292 =>108a =5292
a = 5292/108 = 49m c'est la petite base
la grande base vaut 2a soit 98m
                        
609. Les dimensions d'un champ ayant la forme d'un trapèze sont, sur un plan : 42 mm pour la petite, 65 pour la grande base et 36 mm pour la hauteur. En mesurant la petite base sur le terrain on trouve 105 m.
1° Quelle est l'échelle du plan ?
2° Quelle est la valeur du terrain à 4 200 F l'are ? Réponse.
la surface sur la plan est de (42+65)/2 * 36 = 1926 mm2
l'échelle du plan est de 42/105 000 =700/17 50000 ou 4/10 000 ou 1/2500e
selon l'echelle la surface est de 1926 * 2500 * 2500 = 12037500000 mm2
ou 12037,5 m2 ou 1ha 20a 37,5ca ou 120a 37,5ca

ce que l'on peut également calculer comme ceci :

la grande base vaut 65 mm * 2500 = 162m50
la hauteur vaut 36mm * 2500 = 90m
la surface du trapèze vaut donc : (105+162,5)*90 /2 = 12037,5 m2

1 are = 100m2 => la surface est de 120,375 ares
2° la valeur du terrain est de 120,375*4200 = 505 575F
                    
610. Les dimensions d'une cuisine sont les suivantes : longueur 3,40 m, largeur 2,80 m et hauteur 2m85. Les deux portes et la fenêtre qui ne seront pas peintes, ont ensemble une aire de 7,86 m2.
1° On veut peindre les murs et le plafond. Le peintre demande 4 F par m2 de surface peinte.
A combien s'élèvera la dépense ?
2° Mais on attend 6 mois pour effectuer les travaux. A ce moment le peintre demande 15 % d'augmentation sur les prix précédemment indiqués. Calculer la somme réellement déboursée. Réponse.
le plafond fait 3,4*2,8 = 9,52 m2
surface des murs : (2* 3,40 + 2* 2,80) * 2,85 = 35,34 m2
surface des murs à peindre : 35,34-7,86 = 27,48 m2

total de la surface à peindre : 9,52 + 27,48= 37m2
1° la dépense sera de 37*4=  148 F

2° augmentation de 15% 
la somme réellement dépensée sera :
148 * 15/100 + 148 = 170,20 F

                    
611. Un cylindre en bronze d'aluminium pèse 5 720 g. Cet alliage contient 90 % de son poids de cuivre et 10 % d'aluminium.
Calculer : 1° le poids et le volume du cuivre contenu dans ce cylindre (poids volumique du cuivre : 8,8 g/cm3) ;
2° le poids et le volume d'aluminium (poids volumique de l'aluminium : 2,6 g/cm3) ;
3° le volume du cylindre et le poids volumique de l'alliage. Réponse.
poids du cuivre : 5720 *90/100 = 5148 g
volume du cuivre : 5148/8,8 =585 cm3

poids d'aluminium : 5720*10/100 = 572 g
volume d'aluminium : 572/2,6 = 220 cm3

le volume du cylindre est de : 585 + 220 = 805 cm3
le poids du cylindre étant 5148+572= 5720 cm3
le poids volumique est de 5720/805=7,1055 g/cm3

                    
612. Un vase plein d'eau jusqu'au bord pèse 851 g. On met dans ce vase un morceau de métal pesant 975 g. Il s'écoule de l'eau; on essuie le verre, on le met sur une balance lorsqu'il est encore plein jusqu'au bord. Il pèse alors 1 701 g.
Quel est le poids volumique de ce métal ? Réponse.
soit x le poids volumique du métal par rapport à l'eau 
le métal a un volume de 975/x
le poids final est égal à
851g + 975g - 975/x = 1701
1826 -1701 =975/x
125x =975 => x=7,8 (c'est de l'acier ??)

                    
613. Une bouée est faite d'une demi-sphère peinte en rouge et d'un cône peint en noir. Les deux parties ont le même diamètre : 2,10 m. Le cône a 2,70 m de hauteur. 1° Faire la figure.
2° Quelle est l'aire de la surface peinte en rouge ?
3° Quel est le volume de la bouée (pi = 22/7.) Réponse.
la surface d'une sphère est de 4 πr2 
la surface de la demi sphère (rouge) est égal à 2* 3,14*1,052=6,92 m2
le volume d'une sphère est égal 4 πr3 /3
la 1/2 sphère rouge a un rayon de 1,05m et donc un volume de 2*3,14 *1,05 3=7,27m3

le volume d'un cone est l'aire de la base que multiplie la hauteur divisé par 3 soit
3,14 * 1,05 2 * 2,70/3 = 3,12m3
le volume de la bouée est de 7,27 + 3,12 = 10,39 m3

                    
614. Vous voulez confectionner une boîte en carton sans couvercle qui ait 35 cm de long 15 cm de large et 12 cm de haut.
Quelle surface de carton emploierez-vous ?
Quelle sera la longueur de la bande de papier qui vous sera nécessaire pour recouvrir toutes les arêtes et le bord de l'ouverture de la boîte ? Réponse.
le carton devrait mesurer avant découpe :12+12+35 par 12+12+15 soit 59cm par 39 cm = 2301 cm2
de ce carton il restera de surface : 35*15  +  2*12*15 + 2*12*35
525 + 360 + 840 = 1725 cm2
la longueur des arêtes verticales : 4*12 =48 cm
longueur des arêtes de la base = longueur du bord de l'ouverture = 2*35 + 2*15 =1m
toutes les arêtes + les bords = 2m48

                    
615. Jean possède un anneau qui paraît être en cuivre. Dans une éprouvette où l'eau atteint la division 54 cm3, il plonge l'anneau et l'eau atteint alors 65 cm3.
Quel est le volume de l'anneau ?
Quel serait son poids s'il était en cuivre pur? (1 dm3 de cuivre pur pèse 8,8 kg). Or le poids n'est que de 85 g.
L'anneau est-il en cuivre pur ? Si c'est un alliage, a-t-on ajouté au cuivre un métal dont le poids volumique est supérieur ou inférieur à celui du cuivre? Réponse.
masse volumique du cuivre 8,8 kg /dm3  ou 8,8g /cm3
volume de l'anneau : 65-54=11 cm3
en cuivre pur son poids serait de 8,8 *11 =96,8 g
l'anneau n'est pas de cuivre pur, le métal de l'alliage est plus léger que le cuivre

                    
616. Paul fait une expérience. Il prend un vase gradué en cm3 et y met de l'eau; celle-ci s'élève jusqu'à un trait indiquant 20 cm3. Il pèse le vase et l'eau; il trouve 452 g. Il met dans ce vase un petit morceau de pierre et il constate que l'eau s'élève maintenant jusqu'au niveau 35 cm3. Il pèse alors le vase (contenant la pierre et l'eau) et trouve 486,5 g.
Pouvez-vous trouver le volume, le poids et le poids volumique de la pierre?
Pouvez-vous calculer le poids d'une colonne de cette pierre ayant pour 20 cm de côté et pour hauteur 0,80 m ? Réponse.
1°)  il y a 20 cm3 d'eau et donc 20g d'eau
le vase pèse donc : 452g-20g= 432g
le volume de la pierre est de 35-20=15cm3
la pierre pèse 486,5 - 452 =34,5 g
la masse volumique de la pierre est de 34,5/15 = 2,3g/cm3

2°) volume de la colonne de pierre : 20*20*80=32 000 cm3
son poids sera de 32 000 * 2,3 = 73 600 g =73,6kg

                    
617. Un enfant possède 210 F. Il place cette somme à 3 %. Au bout de 8 mois, il voudrait acheter une bicyclette de 220 F.
Il retire l'argent placé augmenté des intérets, peut-il acheter la bicyclette ?
Dans la négative, quelle réduction % devra-t-il obtenir du marchand pour pouvoir faire l'achat. Réponse.
210*3/100 soit pour 12 mois 6,3F pour 8 mois 6,3 *8/12 = 4,2F : il a donc maintenant 214,20 F
1°) il ne peut pas acheter la bicyclette qui coûte 220F, il lui manque 5,80F

2°) soit x la réduction nécessaire :
220 - 220*x/100 = 214,20
220x/100= 5,80 => x = 580/220 = 2,64%

                    
618. Une personne achète à crédit un poste de T. S. F. dont le prix au comptant serait 500 F. Elle verse 90 F à la commande, 60 F à la livraison. Le reste est majoré de 6% et payé en 12 mensualités égales. Les frais provenant de la vente à crédit s'élèvent à 7F pour l'ensemble des quittances. Calculer : 1° le montant de chaque versement. 2° le prix de l'appareil acheté à crédit. 3° le bénéfice que cette personne réaliserait en achetant l'appareil au comptant. Réponse.
elle verse d'abord 90 + 60 = 150F il reste à paye 500-150= 350F 
majoration de 6 % : 350 *6/100 =21F il reste donc à payer 371F
chaque mensualité vaut (371 + 7)/12 = 31,50F
le poste revient à 150 + 12*31,50 = 528F
en achetant à comptant il gagnerait donc 528-500 = 28F

                    
619. Le château d'eau qui alimente un village en eau potable est un cylindre qui mesure intérieurement 2,50 m de rayon et 8,40 m de hauteur. Ce réservoir est plein aux 9/10 quand le moteur qui refoule l'eau cesse de fonctionner.
1° Quelle quantité d'eau, en hl, contient-il en ce moment?
2° Le village compte 145 habitants utilisant chacun en moyenne 20 litres d'eau par jour et 270 chevaux et têtes de bétail consommant chacun en moyenne 60 litres d'eau par jour. Quel volume d'eau, en m3, est utilisé chaque jour dans cette commune ?
3° Combien de jours au plus doit durer la réparation du moteur pour que ce village ne soit pas privé d'eau ? Réponse.
3,14*2,502 * 8,4 = 164,93 m3  = 164 930 dm3 = 164 930 litres = 1649,3 hl
145*60 + 270*60= 8700 + 16 200 = 24 900 litres =24,9 m3
le chateau d'eau peut fournir de l'eau pendant 164,93/24,9 = 6,63 jours
la réparation ne doit pas dépasser 6 jours

                    
620. Deux automobilistes partent à 8 h 25 mn l'un de A, l'autre de B et se dirigent tous deux vers la ville M située entre A et B. Vitesse du premier : 60 km/h, distance AM = 150 km. Vitesse du second : 44 km/h, distance BM = 132 km. Faire un croquis.
1° Quelle distance reste-t-il à parcourir à chaque automobiliste au bout de 1 h 30 mn ?
2° Peut-on alors prouver sans faire de calculs que l'auto partie de A arrivera la première en M ?
Justifier votre réponse. 3° Déterminer l'heure d'arrivée de chacun à la ville M.
Réponse.
au bout d'1h30 : 90km parcouru pour le premier et 66 km pour le second.
il restera à parcourir 150-90= 60 km pour le premier et donc 1h de trajet
il restera à parcourir 132-66= 66 km pour le second et donc 1h30 de trajet
le premier mettra donc 1h30 + 1h = 2h30, il sera 10h55
le second mettra 1h30 + 1h30 soit 3h, il sera 11h25

                    
621. Une dame hérite d'une somme d'argent dont elle place le tiers à 6 %. Avec le reste, elle achète une propriété de 8 500 F qu'elle loue à un fermier pour un loyer annuel de 484,50 F Calculer :
1° l'intérêt annuel de la somme placée;
2° le revenu annuel total procuré à cette dame par son héritage;
3° le taux net auquel l'ensemble de l'héritage est ainsi placé. Réponse.
elle a hérité de 8500 + 4250 = 12 750 F

1°) le tiers représentant 4250F * 6% = 255F par an comme intérêts
2°) elle touche donc par an : 255 + 484,50 = 739,50 F
soit x la taux net annuel de l'héritage :
3°)  12 750 * x/100 = 739,50 => le taux net est donc x = 5,8 % 

                    
622. Une personne place les 3/4 de son capital à 4% et obtient annuellement 600 F d'intérêt. Elle place ensuite le reste de son capital à 3 %. Calculer :
1° la somme placée à 4 %;
2° le capital possédé par cette personne;
3° le revenu total de cette personne en une année;
4° le taux moyen du placement de la fortune totale. Réponse.
1°) soit x la somme placée à 4%  : 
x * 4% = 600 et donc 60000/4 = 15 000 F
2°) 3/4 * capital= 15000 => capital = 15000 * 4/3 = 20 000F
3°) elle a donc placé 20000 -15000 = 5000F à 3% ce qui rapporte 150F de revenu annuel
son revenu total est 600 + 150 = 750F

4°)elle a donc placé 20 000F à x % ce qui donne 750F
20 000 * x/100 = 750 => x= 75 000/20 000  = 3,75% 

                    

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