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Mathématiques, classe de 5ème Librairie classique Eugène Belin, Paris 1961
409. Une personne économe a augmenté, au bout d'une année, sa fortune des 4/11 de sa valeur. L'année suivante elle l'augmente des 2/5 de sa nouvelle valeur et possède alors une somme de 6048 F. Quelle était sa fortune initiale?
Réponse.
Solution :
Soit x sa fortune.
au bout d'une année sa fortune est x+4x/11 =15x/11
augmentation de l'année suivante 15x/11 * 2/5 =30x/55
total : 15x/11 + 30x/55 =75x/55 +30x/55= 105x/55 =21x/11
si 21x/11 = 6048 alors x= 6048 * 11 / 21 = 3168 F
fortune initiale = 3168 F
                            
                            
410. Une toile de 0,80 m de largeur se réduit au lavage de 1/15 de sa longueur et de 1/16 de sa largeur.
Quelle longueur de toile neuve faut-il acheter pour obtenir 102,90 m2 de toile après le lavage ?
Réponse.
Solution :
1ere solution :
 - la nouvelle largeur est de 0,80 - 1/16*0,80 = 0,75 m
 - la nouvelle surface après lavage étant de 102,90 la nouvelle longueur est de :
   102,90/0,75= 137,20 m

soit x la longueur de la toile neuve :
    x - 1/15*x = 137,20 => 14x/15=137,20 
    x= 147m


2eme solution :

soit x la longueur de la toile neuve :
 - nouvelle longueur = x - x/15 = 14x/15
 - nouvelle largeur 0,80 - 1/16*0,80 = 0,75 m

sachant que la surface après lavage est de 102,90m2 :
0,75 * 14x/15 = 102,90 m2

la longueur de la toile neuve est donc de :
0,05 *14x =102,90 =>0,7x=102,90 => x = 147 m

                                
                            
411. Un jardin potager est planté le 1/3 en haricots, les 2/5 en carottes et le reste en salades. L'aire des plants de carottes surpasse de 186 m2 celle des plants de salades. Calculer l'aire de ce potager.
Réponse.
Solution
Soit x l'aire du potager
surface en haricot : x/3 = 5x/15 m2
surface en carotte : 6x/15 m2
surface en salade : x - 5x/15 - 6x/15 = 4x/15m2
6x/15 - 4x/15= 186m2 => 2x/15 =186 => x=186*15/2 =5580 m2
                            
412. Le charbon extrait de la mine est trié et lavé avant d'être mis en vente. Le triage, en rejetant les pierres, fait perdre au charbon 1/10 de son poids et le lavage, en éliminant la poussière, fait perdre au charbon trié 1/5 de son poids.
1° Représentez, par une fraction du poids du charbon extrait de la mine, le poids du charbon trié et lavé.
2° Quel poids de charbon pourra-t-il être mis en vente sur les 1 600 tonnes produites en une journée par un puits de mine?
3° Quel poids de charbon faudra-t-il extraire pour charger un bateau de 432 tonnes de charbon trié et lavé?
Réponse.
Solution :
Soit x le poids du charbon extrait de la mine.
perte due au triage x/10 => nouveau poids 9x/10
perte due au lavage 9x/10 * 1/5 = 9x/50
1° 45x/50 - 9x/50 =36x/50 ou 18x/25 qui représente le poids du charbon trié et lavé
2° si on extrait 1600 tonnes on peut mettre en vente : 18*1600/25 = 1152 T mis en vente
3° si 18x/25 = 432 alors x= 432 *25 /18 = 600 T extraits

                            
413. Le bac d'une machine à laver peut contenir, outre le linge, 24 litres d'eau. Un robinet permet de le remplir en 4 minutes ; un tuyau d'évacuation permet de le vider en 6 minutes. Pour rincer le linge, on met simultanément en service le robinet de remplissage et le tuyau d'évacuation. Quelle fraction du bac est-elle remplie par minute? Il y avait, au moment de la mise en route 3 litres d'eau.
Au bout de combien de temps le bac sera-t-il plein?
Réponse.
en 1 mn le bac se remplit de 24/4 = 6 l/mn
en 1 mn le bac se vide de 24/6 = 4 l/mn
si les 2 fonctionnent simultanément 6 litres-4 litres= 2 l/mn 
soit x le nombre de minutes pour remplir le bac :
24=3 + x *2 => 21=2x 
x= 21/2  soit 10mn 1/2
                    

414. Une école comprend en temps normal 5 classes. Une des 5 maîtresses s'absente momentanément. On répartit alors ses élèves entre les autres classes de la façon suivante :
1/3 de ses élèves dans la 1re classe,
1/4 de ses élèves dans la 2e classe,
1/5 de ses élèves dans la 3e classe, et les 13 élèves qui restent dans la 4e classe.
1° Quel est le nombre des élèves de la maîtresse absente?
2° Chacune des 4 maîtresses présentes se trouve avoir provisoirement 65 élèves.
Quel est en temps normal l'effectif de chaque classe?
Réponse.
Soit x le nombre d'élèves de la maitresse absente, 5eme classe.
Les élèves de la 5ème classe sont répartis ainsi :                               
    x/3 ou 20x/60 dans la premiere classe
    x/4 ou 15x/60 dans la seconde classe
    x/5 ou 12x/60 dans la troisième classe
    13 élèves dans la quatrième classe

Réduisons tous les termes au dénominateur commun 60 puis supprimons le :

20x/60 + 15x/60 + 12x/60 + 13*60/60 = 60x/60
1°  47x + 780= 60x => x=780/13 => 60 élèves qui étaient dans la 5eme classe.

 ********************************************
                               
si chacune des maitresses a maintenant 65 élèves
le total des élèves des 5 classes faisait 4*65 = 260 élèves

il y avait dans la 4eme classe : 65-13= 52 élèves

le 1/3 des élèves de la 5eme classe 60/3 = 20 vont dans la première classe  
il y avait donc 65-20 = 45 élèves dans la première classe

le 1/4 des élèves de la 5eme classe vont dans la seconde classe 60/4 =15 élèves 
il y avait donc 65-15 = 50 élèves dans la seconde classe

1/5 des élèves vont dans la troisième classe 60/5= 12 élèves
il y avait 65-12 = 53 élèves dans la troisième classe
                                

                            
415. Une personne parcourt une route en 3 h 20 mn. Au retour elle fait 11 m 2/3 de moins par minute et met ainsi 4 h 1/2 pour parcourir le même trajet.
1° Quelle est la longueur de la route?
2° Quelle est la durée du parcours de 1 kilomètre tant à l'aller qu'au retour?
Réponse.
11m 2/3 par minute = 700m/h Solution :
La distance est en mètres et la durée en minutes
Soit x la longueur de la route ; 
Sachant que 3h20 = 200 mn et que 4h30 =270mn :
Elle circule à l'aller à la vitesse de (x/200) m/mn
Elle circule au retour à la vitesse de (x/270) m/mn
La vitesse à l'aller moins la vitesse au retour vaut 11 m 2/3 par mn ou (35/3) m/mn :                                                             
x/200 - x/270 =35/3 => 70x /(200*270)=35/3 et en divisant par 35 des 2 côtés =>
2x/(200*270)=1/3 ou 6x=200*270 => x= 100 * 90= 9000 m
                                
1° longueur de la route 9 km
2° à l'aller durée en mn du km 200/9 = 22mn 13s 1/3
3° au retour idem 270/9 = 30mn

                                (vitesse à l'aller 2,7 km/h et vitesse au retour 2 km/h )
                                 
                               
                            
416. L'hectolitre de blé pèse 78 kg; le blé donne les 5/6 de son poids de farine, la farine donne les 13/10 de son poids de pain. Une personne consomme en moyenne 400 g de pain par jour.
Combien d'hectolitres de blé faut-il pour assurer pendant 1 an le pain nécessaire à une famille de 3 personnes ?
Réponse.
le rapport entre blé et pain est de 5/6*13/10 = 13/12
en 365 jours une personne consomme : 0,4 kg * 365= 146kg et 3 : 438kg
soit x le nombre de kg de blé pour 438kg de pain
x*13/12=438 => x= 12*438 /13 = 5256/13 kg soit en hl : 5256/(13*78)= 5256/1014 =2628/507 hl
= 5hl 93/507 = 5hl 18l 34cl 31ml

                         
417. difficile. Un marchand vend 18 F le mètre une pièce d'étoffe. Il en vend d'abord les 3/8, puis les 3/5 du reste et enfin la moitié du nouveau reste. Ces trois ventes ont déjà produit une somme égale au prix d'achat total, plus 18 F de bénéfice. Dans une quatrième vente, le marchand vend le reste de la pièce, et son bénéfice total est 288 F.
Calculer la longueur de la pièce et le prix d'achat du mètre.
Réponse.
                            Soit x la longueur de la pièce d'étoffe
                           
                            prix vente est égal au prix achat + 288 F  = y + 288F
                            prix de vente des 7/8 = prix achat +18
                            Il en vend x*3/8 il en reste donc 5x/8 dont il 
                            en vend 5x/8 * 3/5= 15x/40
                            Puis 1/2 du nouveau reste : x -3x/8 - 5x/8*3/5
                            nouveau reste 1/2(x- 3x/8 - 3x/8) = x/8
                            7/8PV=PA+18
                            8/8PV=PA+288
                            1/8 PV=288-18=270 F
                            PV=270*8= 2160F
                            2160/18F=120m longueur du tissu
                            PA=2160-288=1872 F
                            PA au mètre =1872/120= 15F60
                            
                           
                        
418. Une personne dépense les 2/3 de son argent ; puis elle gagne une somme égale aux 3/7 de ce qui lui restait. Avec la somme qu'elle possède alors elle peut payer les 2/5 d'une pièce de tissu de 31,25 m qui vaut 4 F le mètre.
Combien avait-elle tout d'abord ?
Réponse.
soit x la somme
Il lui reste x/3 et il gagne 3/7*x/3=3/21 = x/7
Il a donc 7/21 + 3/21 = 10x/21
2/5*31,25= 12,5 m
12,5m * 4F= 50F
2/5 * 50 =20F
et donc :
10x/21=20F
il avait tout d'abord :
x=20*21/10= 42F


                        
419. On donne un certain temps à un candidat pour faire une composition de mathématiques. Il emploie 1/12 de ce temps à lire le sujet. Ensuite il se met au travail et trouve la solution dans les 6/11 du temps qui lui reste. Pour rédiger et relire son travail, il lui faut 1/6 du temps donné pour la composition. Enfin, il remet son devoir 30 minutes avant l'heure fixée.
Quel était le temps accordé pour cette composition?
Réponse.
11/12 * 6/11 = 6/12
x/12 + 6x/12 + 2x/12 + 30mn = x
9x/12 +30 =12x/12 =>3x/12 = 30mn => 30 * 12/3 = 120 mn ou 2h
temps accordé 2h
                        
420. Une personne remplit de vin pur son verre dont la capacité est 30cl ; elle en boit d'abord 1/4, elle achève de le remplir avec de l'eau et en boit la moitié. Elle achève enfin de le remplir avec de l'eau et elle le boit tout entier.
On demande combien elle a bu de centilitres d'eau et de vin pur et combien de centilitres de liquide elle a bu en tout à chaque fois.
Réponse.
A)réponse 1 ce qu'elle a bu en tout :

1) n'ayant jamais rajouté de vin et ayant bu tout le verre elle a bu les 30cl de vin
2) elle rajoute 7,5cl d'eau, puis la moitié du verre 15cl,  soit 22,5 cl d'eau
3) elle a donc bu 52,5 cl de liquide.

B) réponse 2 ce qu'elle a bu à chaque fois :

1) * Elle boit d'abord 1/4 de 30 cl soit 7,5 cl de vin
2) Elle rajoute donc 7,5 cl d'eau => il y a dans le verre 22,5 cl de vin et 7,5cl d'eau 
3) * Elle en boit la moitié (15cl) et donc elle boit 11,25cl de vin et 3,75 cl d'eau
il en reste la même quantité
4) Elle remplit le verre avec de l'eau et en rajoute donc 15 cl                           
le verre contient donc 11,25cl de vin + 3,75 d'eau + 15cl d'eau
5) * Elle boit le tout donc 11,25cl de vin et 18,75cl d'eau
6) Elle a bu successivement:
    - 7,5cl de vin 
    - 11,25 cl de vin et 3,75 cl d'eau
    - 11,25 cl de vin et 18,75 cl d'eau
elle aura bu 30 cl de vin et 22,5 cl d'eau

                           
                        
421. Une montre retarde de 2/3 de minute par heure. On la règle le dimanche à midi.
Quelle heure sera-t-il réellement quand cette montre indiquera midi le lendemain ?
Quelle heure sera-t-il quand elle marquera midi le dimanche suivant si on ne l'a pas règlée au cours de la semaine ?
Réponse.
il se passera 24h, elle retardera donc de 2/3mn * 24 =16 mn
en 7 jours, elle retardera de 2/3mn * 24 * 7= 112mn soit 1h 52mn
il sera 10h 08
                         
422. Une montre retarde de 1/4 de minute pendant le jour mais, par suite du changement de température, elle avance de 1/3 de minute pendant la nuit.
On la règle aujourd'hui midi dans combien de jours aura-t-elle une avance de 2 minutes ? On admettra que le jour et la nuit on chacun une durée de 12 heures.
Réponse
La montre retarde de 3/12 de mn le jour et avance de 4/12 de mn la nuit.
Elle avance donc de 1/12 de minute par jour.
Elle aura une avance de 2 mn en 24 jours car  24*1/12=2.
                               
                         
423. Les deux aiguilles d'une horloge sont sur midi. A quelle heure seront-elle opposées l'une à l'autre, en ligne droite pour la première fois ? Cette horloge marque 5 heures;
dans combien de temps les deux aiguilles formeront-elles un angle de 60 degrés pour la première fois ?
Réponses.
1ere réponse: on considère que l'aiguille des heures ne bouge qu'1 fois par heure :
1°) elles seront opposées l'une à l'autre à 12h30
2°) elles feront un angle de 60° à 12h20 puis à 12h40

2eme réponse l'aiguille des heures avance continuellement : 
les aiguilles seront alignées une fois par heure; 
la première fois sera entre 12h32 et 12h33 car :
                            
chaque fois que l'aiguille des heures avance d'1/60 l'aiguille des minutes avance de 12/60

  à 12h32 (=+2 divisions) l'aiguille des heures aura avancé de : 
    32/12 de 60eme = 2,66 divisions : l'aiguille des heures est en retard (2<2,66)
  à 12h33 (=+3 divisions) l'aiguille des heures n'aura avancé que de  :
    33/12 de 60eme = 2,75 divisions : l'aiguille des heures est en avance (3>2,75)
 
ce que l'on peut calculer :

 1) soit x le nombre de minutes où les aiguilles seront alignées :
x-30 = x/12 => 12x/12 -30 =x/12
12*x/12-30 =x/12
12x/12- x/12 = 30
11x/12 =30  => x= 12*30/11 = 32,72
les aiguilles seront de nouveau à l'opposé à 12h 32 mn et 72/100 de minutes 
soit 12 h 32 mn 43 secondes et 2/100s 
11x/12 =30 => x=12*30/11 

2) soit x le nombre de minutes après 12h20 où l'angle sera de 60°
x-20=x/12 => 12x/12-x/12=20
11x/12=20 => x=12*20/11 = 21mn et 48s environ

                            
465. J'ai acheté un livre et un stylomine. Ne me rappelant plus le prix du livre, je le désigne par x. Je sais que le stylomine a coûté 2,25 F de plus que le livre. 1° Exprimer le prix du stylomine, puis la dépense totale. 2° Quel est le prix du livre, sachant que j'ai payé en tout 16,75 F Réponse.
soit x le prix du livre
prix du stylomine : x + 2,25 
dépense totale : x +x +2,25 =16,75 => 2x=14,50 => 
prix du livre x= 7,25F (prix du stylomine : 9,50F)

                        
466. La longueur d'un champ rectangulaire est le triple de la largeur; le périmètre mesure 380 m. Quelle est la largeur? Réponse.
                            L=3*l
                            périmètre = 2*(3*l + l) = 8*l =380 => l=380/8 = 47,50 m

                        
467. Dans un autobus il y a 4 fois plus de places assises que de places debout. L'autobus a 40 places. Combien y a-t-il de places debout? Réponse.
soit x le nombre de places assises
le nombre de place debout = 4x
x+4x= 40 => x = 8 places assises

                        
468. On partage en 3 coupons une pièce d'étoffe de 30 mètres. Le premier coupon est le triple du troisième, le troisième est la moitié du second. Quelle est la longueur du troisième coupon ? Réponse.
soit x la longueur du 3eme coupon
le 1er = 3x
le 2eme = 2x
x+3x+2x=30 =>6x=30 => x=5m
le second coupon est de : 10m
le 1er coupon est de : 15m
                        
469. Un vigneron a vendu le même nombre de pièces de vin rouge et de vin blanc. Le vin rouge vaut 128 F la pièce, le vin blanc 152 F la pièce. Le vigneron a reçu 1 680 F. Calculer le nombre de pièces de chaque sorte. Réponse.
soit x le nombre de pièce d'une sorte
128*x +152*x = 1680
280 x = 1680 => x= 6
                        
470. Dans la boutique d'un fruitier il y a des pêches, du raisin et des poires, en tout 520 kg de fruits. Le poids du raisin est le double de celui des poires et le poids des pêches est le quintuple de celui des poires.
Combien y a t'il de kilogrammes de poires ?
Réponse.
soit x le poids des poires, le poids total est donc :
x+2x+5x=520 
8x=520 => x= 520/8 = 65 kg
il y a donc 65 kg de poires.

                         
471. Un automobiliste a voyagé à la même vitesse, le lundi pendant 7 heures, le mardi pendant 4 heures. Il a parcouru le lundi 240 km de plus que le mardi.
Quelle est sa vitesse? Réponse.
il a fait les 240 km en 7h-4h= 3h
il a donc voyagé à la vitesse de 240/3 =80km/h

                        
472. Deux sacs contiennent le même nombre de pièces de 0,50 F et de 1 F. La différence de leurs valeurs est 16 F. Combien y a-t-il de pièces dans chaque sac ? Réponse.
soit x le nombre de pièces dans un sac
x - x/2 =16 =>x/2 =16 => x = 32 pièces dans chaque sac

                        
473. On multiplie successivement par 25 et par 12 un même nombre. La différence entre les deux produits est de 221. Quel est ce nombre ? Réponse.
soit x le nombre
25x - 12x= 221
13x =221
x = 221/13 = 17 est le nombre.
                        
474. Un libraire a reçu 2 colis contenant le même nombre de livres, les uns à 8,25F pièce, les autres à 6,75F pièce. Il paie en tout 90F.
Combien y a-t-il de livres dans chaque colis ?
Réponse.
Soit x le nombre de livres dans chaque colis.
Donc le prix total (90F) est égal à :
8,25*x + 6,75*x = 90
15x=90
x=90/15 = 6 il y a 6 livres dans chaque colis.

                            
475. Un fruitier a reçu des oranges qu'il répartit, suivant leur grosseur, dans 4 corbeilles contenant chacune le même nombre d'oranges. Il vend la première avec un bénéfice de 0,20F par orange, la deuxième avec un bénéfice de 0,10F, la troisième avec un bénéfice de 0,05 F, la dernière avec une perte de 0,15 par orange sur le prix de revient. Son bénéfice total est 20F.
Combien y a-t-il d'oranges dans chaque corbeille ?
Réponse.
Soit x le nombre de fruits dans chaque corbeille son bénéfice est la somme du bénéfice de chaque corbeille :
(0,20 * x)  + (0,10 * x) + (0,05 * x) - (0,15 * x) = 20
0,20 * x = 20
x= 20/0,2 = 100 oranges
 
                         
476. Un vigneron a vendu un certain nombre de pièces de vin rouge à 105 F la pièce et un nombre triple de pièces de vin blanc à 123,50 F la pièce. Il a encaissé 1 426,50 F. Combien a-t-il de pièces de vin rouge ? Réponse.
soit x le nombre de pièces de vin rouge
il a vendu 105x + 123,5*3x = 1426,50 => 475,50 x= 1426,50
x= 3 pièces de vin rouge et donc 9 pièces de vin blanc

                        
477. Un marchand de bicyclettes a acheté pour 2 496 F des bicyclettes d'homme à 180 F des bicyclettes d'enfant à 112 F. Il y a 4 fois plus de bicyclettes d'homme que de bicyclettes d'enfant.
Combien a-t-il acheté de bicyclettes d'enfant ? Réponse.
soit x le nombre de bicyclettes d'enfant achetés 
112x + 4x*180 =2496 => 112x + 720x=2496 => 832x=2496
x= 2496/832 = 3 bicyclettes d'enfant et donc 12 bicyclettes d'homme ont été achetés.

                        
478. On a acheté un buffet, une table et 6 chaises pour 1 320 F. Le buffet vaut 3 fois autant que la table et celle-ci autant que 4 chaises. Quel est le prix d'une chaise? Réponse.

soit x la prix d'une chaise
la table vaut 4*x
le buffet vaut 3*4*x
le total vaut 6x + 4x + 12x= 22x = 1320
x= 60F prix de la chaise et donc
la table vaut 240F
le buffet vaut 720F

                        
479. En fin de quinzaine un patron a eu besoin de 1 260 F pour régler son personnel; le comptable touche 450F, les 3 autres employés ont des salaires égaux, mais l'un d'eux a déjà reçu un acompte de 210 F et un autre un acompte de 240 F. Quel est le salaire d'un employé ? Réponse.
si le patron a eu besoin de 1260F en fin de quinzaine il aurait dû verser de salaires 1260 + 210 + 240 =1710F
il reste pour salaire aux 3 autres employés : 1710 - 450 = 1260F soit 420 F par employé

                        

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