Solutions à des problèmes mathématiques de 4ème
6. Le rapport de capacités de deux vases est 2,5. La première vaut 4,75 litres. Calculer
l'autre.
Réponse.
soit x la capacité du 2eme vase
4,75/x = 2,5
x = 4,75/2,5 = 1,9 litre
7. Le rapport de deux aires est 3 4/5, la seconde mesure 7 ha 30 ca. Quelle est la mesure de la
première ?
Réponse.
7ha 30ca= 70 030m2
3 4/5 = 19/5
x/70030 = 19/5 => 5x= 70030*19 => x= 266114m2 = 26ha 61a 14ca
8. Une pompe donne 65 coups de piston par minute; elle met 13 h 30 pour vider l'eau d'un
réservoir cubique de 6 m d'arête.
Une autre pompe donnant 85 coups de piston par minute met 24 heures pour vider un réservoir
cubique de 1 m d'arête.
Quel est le rapport des quantités d'eau aspirées à chaque coup de piston par chacune des
pompes ?
Réponse.
1er réservoir :
le réservoir fait 6 3m3 ou 216 m3
13h30 = 810 minutes
sachant que la pompe donne 65 coups de piston par minute :
elle aura donné : 810 * 65 = 52 650 coups de piston pour vider 216 m3 ou 216 000 dm3
soit 216 000 / 52650 = 4320/1133 dm3 (3,81288 dm3 environ ou 3812,88 cm3) par coup de piston
2eme réservoir :
le réservoir fait 1m3
24h = 24*60 mn = 1440 minutes
sachant que la pompe donne 85 coups de piston par minute :
elle aura donné 1440 * 85 = 122 400 coups de piston pour vider 1 m3 ou 1000 dm3
soit 1000/122 400 = 5/612 dm3 (0,008169 dm3 ou 8,169 cm3) par coup de piston
le rapport des quantités d'eau par coup de piston est de :
4320/1133 / 5/612 = 4320/1133 * 612/5 = 528768/1133 (environ 466,70)
9. Le rayon de la lune est les 3/11 du rayon de la terre. Le rayon du soleil est égal à 108 fois le
rayon de la terre. Calculer la rapport du rayon da la lune à celui du soleil.
Réponse.
le rapport de la lune au soleil :
le rayon de la terre est 1/108 eme de celui du soleil
le rayon de la lune est donc 3/11 * 1/108 = 3/1188 eme du soleil
10. Le périmètre d'un terrain triangulaire est 108 m. Les longueurs des côtés sont
proportionnelles à 4, 5 et 6. Quelles sont ces longueurs ?
Réponse.
(4+5+6) * x = 108 => x= 108/ 15
l1= 108/15 * 4 = 432/15 = 28m80
l2= 108/15 * 5 = 540/15 = 36m
l3= 108/15 * 6 = 648/15 = 43m20
vérification :
28m80 + 36m + 43m20 = 108m
11. En fin d'année, un patron se propose d'accorder une gratification de 472 F à 4 ouvriers,
proportionnellement à leur assiduité. Sur 300 jours de travail, le premier a 2 jours d'absence,
le deuxième 4, le troisième 6 et le quatrième 8. Quelle somme chacun des ouvriers recevra-t-il ?
Réponse.
les raports sont 1, 1/2 , 1/3 , 1/4
soit x la somme touchée par le premier
le dernier en touche 4 fois moins
le 3eme 3 fois moins et le second la moitié
x + x/2 + x/3 + x/4 = 472
12x/12 + 6x/12 + 4x/12 + 3x/12 = 472 => 25x= 12*472
x= 12*472/25 = 226,56 F
le second 113,28 F
le 3eme 75,52F
le 4eme 56,64F
vérification :
226,56 + 113,28 + 75,52 + 56,64 = 472F
12. Trois associés ont consacré 3200 F à leur commerce. On demande quelles ont été leurs
mises respectives, sachant que leurs parts bénéficiaires (proportionnellement à ces mises) ont
été respectivement 300 F, 190 F et 150 F.
Réponse.
13. Partager le nombre 3912 proportionnellement aux fractions 1/2, 3/5, 2/7, 1/6.
Réponse.
soit x,y,z,t les nombres ; le total est 3912
le total des fractions fait 326/210
2x = 5y/3 = 7z/2 = 6t = 3912 /(326/210)=(3912*210)/326
x=(3912*210)/(326*2)=1260
y= (3912*210*3)/(326*5) = 1512
z=(3912*210*2)/(326*7)= 720
t=(3912*210)/(326*6)=420
vérification :
1260 + 1512 + 720 + 420 = 3912
14. Trois personnes se sont associées pour fonder une entreprise. La mise de la 2e est les 4/5 de
celle de la 1e: celle de la 3e est les 5/6 de celle de la 2e. A la fin de l'année le bénéfice s'est élevé à
25 160 F. Calculer proportionnellement à la mise la part bénéficiaire de chaque personne.
Réponse.
soit x la mise du 1er 15x/15
mise du second 4x/5 = 12x/15
mise du troisième 4x/5 * 5/6 = 2x/3 = 10x/15
la somme des fraction fait : (15+12+10)/15 =37/15
les sommes sont x, y, z
x = 5y/4 = 3z/2= 25160 / (37/15) = (25160*15)/37 = 10200F, part du premier
5y/4 = 10200 => y=(10200*4)/5 = 8160F, part du second
3z/2=10200 => (10200*2)/3= 6800F, part du troisième
vérification : 10200 + 8160 + 6800 = 25160F
15. Quatre associés ont mis dans une entreprise chacun la même somme : le 1er pendant
5 ans. la 2e pendant 2 ans 1/2. le 3e pendant 20 mois, le 4e pendant 1 an. L'entreprise a produit un
bénéfice de 341 600 F, calculer la part da chaque associé.
Réponse.
1ere formulation :
les proportions sont : 60 mois, 30 mois, 20 mois, 12 mois
le total des mois est de 122
x/60 = y/30 = z/20 = t/12 = 341600/122 => x= 341600*60/122 = 168 000F part du premier
y = 341600 * 30/122 = 84 000F part du second
z= 341600*20/122 = 56 000F part du troisième
t= 341600*12/122 = 33 600F part du quatrième
2eme formulation :
les proportions sont : 60 mois, 30 mois, 20 mois, 12 mois
le total des mois est de 122 et la part par mois est donc 341 600/122 = 2800F
pour 60 mois :168 000F
pour 30 mois : 84 000F
pour 20 mois : 56 000F
pour 12 mois : 33 600F
vérification :
168 000F + 84 000F + 56 000F + 33 600F = 341600F
16. Deux associés ont apporté un même capital dans une entreprise, le premier pendant
7 mois et le deuxième pendant 9 mois. A la répartition des bénéfices, le 1er associé reçoit 1 421F.
Quelle est la part du 2e associé et quelle est la somme fournie par chacun, le capital de ce 2e associé
lui ayant rapporté 21 % pendant ces 9 mois ?
Réponse.
soit x la capital apporté par chacun
le 1er reçoit 1421F pour 7 mois et donc 203F par mois
le 2eme doit recevoir 203*9 = 1827F
x * 21/100 = 1827
x= 182700/21 = 8700F
17. Durand et Dupont se sont associés. Durand dirige l'association et prélève à ce titre 15 %
du bénéfice avant partage. Les bénéfices se sont élevés à 6160 F. Durand a retiré en tout, mise
comprise, 53 256 F. Les mises de Durand et Dupont sont proportionnelles à 7 et à 4. Trouver
quelle est la mise de chacun et combien pour cent a rapporté le capital?
Réponse.
Durand prélève 15% donc 6160*15/100 = 924F il reste 5236F à partager dans les proportions 7 et 4
le total des proportions est de 11 soit 476 par unité
pour Durand 476 * 7 = 3332F
pour Dupont 476 * 4 = 1904F
soit x le capital de Durand
Durand a retiré en tout :
x + 924 + 3332 = 53 256F et donc x = 49 000F
la mise de Dupont est de 49 000/7*4 = 28 000F
le total des mises est donc de 49 000 + 28000 = 77 000F
soit x le % qu'a rapporté le capital:
77000 * x/100 = 6160F
x= 616000/77000 = 8%
18. Deux associés ont fondé une maison de commerce pour laquelle le 1e apporte immédiatement 25 000 F;
le 2e associé apporte la même somme 3 mois après; 4 mois plus tard, ils s'adjoi-
gnent un 3e associé qui apporte également 25 000 F. Au bout de l'année, les 3 associés ont à se
partager un bénéfice de 10 010 F sur lequel le 1e des associés, qui a géré l'entreprise, doit prélever
10% avant partage. Combien revient-il à chacun ?
Réponse.
le bénéfice est de 10010F, on en retire 10% soit 1001F
il reste donc 9009F
ils ont travaillé :
le 1er : 12mois
le 2eme : 9mois
le 3eme : 5mois
total des mois : 26 mois
le premier touche 9009/26*12 = 4158F
le 2eme touche 9009/26*9 = 3118,50F
le 3eme touche 9009/26*5 = 1732,50F
vérification :
4158F + 3118,50F + 1732,50F = 9009F
19. Trois personnes ont engagé dans une entreprise un capital global de 43 522 F. La deuxième
personne a mis 1843F de plus que la première, la troisième 3425 F de plus que la deuxième. La
première personne a laissé son capital pendant 4 ans 1/2, la deuxième pendant 3 ans, la troisième
pendant 2 ans et 3 mois. On convient de partager le bénéfice de 36 191,40 F proportionnel-
lement au produit des mises par leur durée de placement. Calculer la part de chacun des associés.
Réponse.
soit x le capital mis par le premier
x + x + 1843 + x + 1843 + 3425 = 43 522 F
3x= 43522-1843-1843-3425= 36411 => x= 12 137F capital du premier pendant 54 mois
le capital du second est de 12 137 + 1843 = 13 980F pendant 36 mois
le capital du 3eme est de 13980 + 3425 = 14 405F pendant 27 mois
les pruits capital par durée sont :
12 137 * 54 = 655 398
13 980 * 36 = 503 280
14 405 * 27 = 388 935
le total de ces produits est de 1 547 613
le partage des bénéfices sera de :
pour le 1er : (36191,40 / 1 547 613) * 655 398 = 15 326,68F
pour le second (36191,40 / 1 547 613) * 503 280 = 11 769,36F
pour le 3eme (36191,40 / 1 547 613) * 388 935 = 9 095,36F
vérification : 15326,68 + 11769,36 + 9095,36 = 36191,40 F
20. Dans un héritage, les parts de trois personnes sont proportionnelles à 3, 5 et 8. Le double
de la part de la première, augmenté du quadruple de la part de la seconde, et diminué de la part
du troisième, vaut 10 800 F. Trouver la part de chacune des trois personnes.
Réponse.
x/3 = y/5 = z/8 = N/16
x/3 = y/5 => 5x=3y => y=5x/3
x/3 = z/8 => 8x=3z => z = 8x/3
2x + 4y - z= 10 800
2x + 20x/3 - 8x/3 =10 800
18x/3 = 10 800
x= 10800/6 = 1800
y= 5*1800/3= 3000
z = 8*1800/3 = 4800
vérification :
2x +4y -z= 3600 + 12000 - 4800 = 10 800F
21. Une somme a été partagée entre trois personnes de manière que les parts soient proportionnelles
aux nombres 2, 3, 5 La troisième personne a reçu 2 400 F de plus que la deuxième.
Quelle était la somme à partager ?
Réponse.
x/2 = y/3 = z/5
x/2=y/3 => 3x= 2y => y= 3x/2
y/3=z/5 => 5y=3z => y=3z/5
z = y + 2400 => 5z/5= 3z/5 +2400 => 2z/5 = 2400 => z= 2400*5/2
z = 6000F
x/2=z/5 => 5x=2z => x= 2*6000/5 = 2400F
y/3= z/5 =>5y= 3z=> y= 3*6000/5 = 3600F
la somme à partager était de : 6000 + 2400 + 3600 = 12 000 F
22. Un oncle avait primitivement partagé sa fortune entre ses trois neveux proportionnellement
aux nombres 7, 6 et 5. Mais il se ravise et refait le partage proportionnellement aux nombres
6, 5 et 4. L'un des neveux reçoit ainsi 1 200 F de plus qu'auparavant. Quelle est la valeur de l'héritage
et quelles sont les parts des trois neveux ?
Réponse.
soit N la fortune
x/7 = y/6 = z/5 =N/18
puis la nouvelle répartition
x'/6 = y'/5 = z'/4 = N/15
soit le premier neveu qui reçoit 1200F de plus grace à la 2eme répartition :
x'=x + 1200
x/7=N/18
x'/6 =N/15 => (x+1200)/6 =N/15 et x/7 = N/18
x= 7N/18
7N/18/6 + 200 = N/15
N/15 - 7N/108 = 200
(108N - 105N)/1620 = 200
3N/1620=200
N=200*1620 / 3 =108 000F
x'/6 = y'/5 = z'/4 = 108000/15 =7200
x' = 7200*6 = 43 200F
y'= 7200* 5 = 36 000F
z'= 7200*4 = 28 800F
dans un premier temps ils auraient reçu :
x/7 = y/6 = z/5 =108 000/18 = 6000F
x= 7*6000= 42 000F
y= 6*6000= 36 000F
z= 5*6000= 30 000F
23. Quatre joueurs A, B, C, D possèdent, avant de jouer ensemble, des sommes x, y, z, u,
respectivement proportionnelles aux nombres 2, 3, 4, 5.
1° Soit S la somme des avoirs :
S=x+y+z+u
trouver la fraction de S que possède chacun des quatre joueurs.
2° Après le jeu, les avoirs des quatre joueurs A, B, C, D sont respectivement X, Y, Z, U,
et ces nombres sont proportionnels respectivement aux nombres 8. 9, 11, 14.
Indiquer quels sont les joueurs gagnants et les perdants.
3° L'un des Joueurs a gagné 20 F. Trouver l'avoir de chacun des joueurs avant et après le jeu.
Réponse.
24. Une somme d'argent doit être partagée entre deux personnes. Le total de ce qu'elles
demandent dépasse de 409 f le montant de la somme: le partage étant fait proportionnellement à
leurs demandes, la première personne reçoit 2 025 F et la deuxième 1 656 F. Combien chacune
rèclame-t-elle ?
Réponse.
25. A quoi peut-on reconnaître que les quatre nombres 18, 96, 15 et 80 forment une proportion ?
Réponse.
c'est une propotion car le produit des extrême est égal au produit des moyens :
18 * 80 = 96 * 15
1440 = 1440
26. Écrire toutes les proportions qui peuvent être tirées de l'égalité :
35 x 21 = 49 x 15.
Réponse.
35/15 = 49/21 (2,333 ... ou 7/3)
15/35 = 21/49 (0,428 ... ou 3/7)
35/49 = 15/21 (0,714... ou 5/7)
21/15 = 49/35 (1,4 ou 7/5)
27. Calculer le terme inconnu dans les proportions suivantes :
x/4 = 0,75/2; 11/8 = 11/x ; 105/x = 70/45; 2,2/3,3 = x/4,4
(3 + 2/5 )/ (12 + 4/7) = 9 2/3 /x
Réponse.
2x = 4*0,75 => x = 1,5
11x=88 => x=8
105*45 = 70x => x=67,5
2,2 * 4,4 = 3,3x => x= 9,68/3,3
(3 + 2/5 )/ (12 + 4/7) = (9 + 2/3) /x
17/5 / 88/7 = 29/3 / x
17/5 * x = 88/7 * 29/3 => x = 2552/21 * 5/17 = 12760/357
28. Calculer la quatrième proportionnelle aux nombres :
a) 4, 11, 26
b) 2/3, 4/5, 8/15
Réponse.
le produit des moyens est égal au produit des extrêmes
a) 4/11 = 26/x =>11*26 = 4x => x= 286/4= 143/2 = 72,5
b) 2/3 x = 4/5 * 8/15 = 32/75 => 2x= 32*3/75 = 96/75 => x = 96/150
29. Calculer la moyenne proportionnelle entre les nombres suivants :
3 et 27; 12 et 2; 3 et 48; 1 et 4
Réponse.
la moyenne proportionnelle de 2 nombre est la racine carré de leur produit
3*27= 81 dont la racine carré est 9
12*2=24 => racine carré de 24
3*48= 144 dont la racine carré est 12
1*4=4 dont la racine carré est 2
10. 1° On donne la proportion a/b = c/d
Montrer, en ajoutant 1 à chaque membre qu'elle entraine la proportion :
(a + b)/b = (c + d)/d
2° Montrer que, réciproquement, la proportion (a+b)/b = (c+d)/d entraine la proportion
a/b = c/d
3° Par un procédé analogue, montrer que la proportion : a/b = c/d entraîne la proportion
(a - b)/d = (c - d)/d
et que la proportion (a-b)/b = (c-d)/d entraîne la proportion a/b= c/d
Réponse.
1° a/b +1 = c/d +1 =>a/b +b/b = c/d + d/d => (a+b)/b = (c+d)/d
2° (a+b)/b = (c+d)/d => a/b + b/b = c/d + d/d => a/b +1 = c/d +1 => a/b = c/d
31. Démontrer que la proportion : (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) , entraîne la proportion : a/b = c/d
Réponse.
le produit des extrêmes est égal au produit des moyens et donc :
(a+b)*(c-d)=(a-b)*(c+d)
ac-ad+bc-bd=ac+ad-bc-bd
-ad+bc=ad-bc
2bc=2ad =>ad=bc => a/b=c/d
32. De la proportion : a/b=c/d déduire les égalités : a/c=b/d = (3a-2b)/(3c-2d)
Réponse.
si a/b=c/d => ad=bc ; on divise par cd : ad/cd = bc/cd
et donc a/c=b/d
on sait que a/c = b/d = (a+b)/(c+d)
relmplaçons a par 3a, b par -2b, c par 3c et d par -2d
par réciprocité (3a-2b)/(3c-2d)= 3a/3c=-2b/-2d = a/c = b/d
33. Montrer que la proportion : a/b=c/d entraîne les égalités :
(2a + 3c) /a = (2b+3d)/b (2a + 3b)/(2a-3b) = (2c+3d)/(2c-3d)
Réponse.
1° a/b=c/d => a/c = b/d => c/a=d/b ; on mutiplie par 3 les 2 membres :
3c/a = 3d/b; on rajoute 2 de chaque côté 2 + 3c/a = 2 + 3d/b
ce qui donne (2a + 3c) /a = (2b+3d)/b
2° (2a + 3b)/(2a-3b) = (2c+3d)/(2c-3d);
4ac - 6ad + 6bc - 9bd = 4ac + 6ad -6bc -9bd
1) on retire 4ac et -9bd des 2 membres puis on divise par 6
-ad +bc = ad-bc => 2bc=2ad => bc=ad => b/a = d/c
34. Montrer que la proportion : a/b=c/d entraîne les égalités :
(2a—3b)/b = (2c — 3d)/d ; (a + b)/(c+d) =(a-b)/ (c-d)
Réponse.
1°) (2a—3b)/b = (2c — 3d)/d => 2a/b - 3 = 2c/d -3
on enlève -3 des 2 membres puis on divise par 2 => a/b=c/d
2° ) (a+b)/(c+d) = (a-b)/(c-d)
ou
(a+b)*(c-d) = (c+d)*(a-b)
ac - ad + bc -bd = ac - bc +ad - bd
on peut oter des 2 membres ac et -bd, il reste
bc-ad= ad-bc => 2bc = 2ad => bc=ad => a/b = c/d
35. Montrer que la proportion : a/b=c/d entraine les égalité» :
a²/b² = ac/bd =c²/d² ; (a²+b²)/b² =(c²+d²)/d² ; (a²+c²)/(a²-c²) = (b²+d²)/(b²-d²)
Réponse.
a/b = c/b
1) on multiplie par a/b les 2 membres :
a/b*a/b = a/b *c/d => a²/b²=ac/bd
on multiplie par c/d les 2 membres :
a/b * c/d = c²/d² => ac/bd = c²/d²
ac/bd est égal à la fois à a²/b² et à c²/d²
et donc a²/b² = ac/bd =c²/d²
2) puisque a²/b² = ac/bd
a²/b² + 1 = c²/d² + 1
qu'on peut écrire :
(a²+b²)/b² =(c²+d²)/d²
3) (a²+c²)/(a²-c²) = (b²+d²)/(b²-d²)
(a²+c²)*(b²-d²) =(a²-c²) * (b²+d²)
a²b² - a²d² +b²c² -c²d² = a²b² + a²d² -b²c² -c²d²
on ote des 2 membres a²b² et -c²d²
- a²d² +b²c² = + a²d² -b²c²
2a²d²= 2b²c² =>a²d²= b²c² => a²/b²= c²/d²
que l'on a déjà trouvé au point 1)
Trouver deux nombres a et b dont on donne la somme s et le rapport k:
36. s=40 k=2/3
37. s=170 k=3/7
38. s=4,2 k=5
39. s=58,5 k=1,6
40. s=55 k=7/4
41. s=24 k=3
Réponse.
36. a+b=40 et a/b=2/3 => a=2b/3 et donc 2b/3 +b = 40
5b/3=40 => b= 24 et donc a=16
37. a+b=170 et a/b=3/7 => a=3b/7 et donc 3b/7 +b = 170
10b/7 =170 => b=1190/10 = 119 et donc a=51
38. a+b=4,2 et a/b=5 => a=5b et donc 6b = 4,2
b=4,2/6 = 0,7 et donc a=3,5
39. a+b = 58,5 et a/b = 1,6 => a=1,6b et donc 2,6b = 58,5
b=22,5 et donc a=36
40. a+b=55 et a/b=7/4 => 4a=7b et donc b=4a/7
7a/7 +4a/7 = 11a/7=55 =>a= 35 et b= 20
41. a+b=24 et a/b=3 => a=3b
4b=24 => b=6 et donc a=18
83. décomposez 1176 en facteurs premiers. En déduire la décomposition en facteurs premiers de 1176² et 1176³
Réponse.
1176= 2³ * 7² * 3
1176² = 26 * 74 * 3²
1176³ = 29 * 76 * 3³
85. Quel est le plus grand nombre dont le carré est un diviseur de 4320.
Réponse.
on décompose en nombres premiers
4320 = 32 * 135 = 2⁵ * 5 * 3³
ce nombre est 4 son carré est 16 qui est un diviseur de 4320
— Calculer le plus petit commun multiple des nombres suivants, et dans chaque cas trouver le
quotient de ce plus petit commun multiple par chacun des nombres :
108. 24 et 56.
109. 72 et 45.
110. 128 et 182
111. 654 et 728
112. 50, 75 et 80
113. 90, 180 et 945.
114. 36, 108 et 480.
115. 610, 770 et 1 155.
Réponse.
108. 24= 2*2*2*3 56= 2*2*2*7 ppcm = 8*3*7 = 168 les quotients sont 7 et 3
109. 72=2*2*2*3*3 45= 5*3*3 ppcm=2*2*2*3*3*5 =360 les quotients sont 5 et 8
110. 128 = 2*2*2*2*2*2*2 182 = 2*7*13 ppcm=128*7*13= 11648 les quotients sont 91 et 64
111. 50=5*5*2 75= 5*5*2*3 80= 5*2*2*2*2 ppcm=5*5*3*2*2*2*2 =1200 les quotients sont 24, 16, 15
113. 90=2*3*3*5 180=2*2*3*3*5 945=5*3*3*3*7 ppcm= 2*2*3*3*3*5*7=3780 les quotients sont 4, 21, 42
114. 36=2*2*3*3 108=2*2*3*3*3 480= 2*2*2*2*2*3*5 ppcm= 2*2*2*2*2*3*3*3*5=4320 les quotients sont 120, 40, 9
115. 610=2*5*61 770=2*5*7*11 1155= 5*7*11*3 ppcm=2*5*7*61*11*3 = 140910 les quotients sont 231, 183, 122
116. Trouver les nombres compris entre 100 et 500 qui sont divisibles à la fois par 8, par 15
et par 20.
Réponse.
8=2*2*2
15=3*5
20=2*2*5
le plus petit nombre multiple sera : 2*2*2*3*5 = 120
le nombre suivant sera : 120*2 = 240
le nombre suivant sera au-delà de 500 :240*3 = 720
117. Trouver les nombres compris entre 400 et 1 000 qui sont divisible à la fois par 4, par 14
et par 15.
Réponse.
4=2*2
14=7*2
15=3*5
le plus petit nombre divisible par 4, 14, 15 est 2*2*7*3*5 = 420
le nombre suivant sera 420*2 = 840
les nombres suivants sont plus grands que 1000 (ex: 420*3=1260, 420*5=2100 etc...)
118. Trouver le plus petit nombre qui soit divisible par chacun des dix premiers nombres
entiers.
Réponse.
il faut qu'il y ait tous les nombres premiers
3,5,7 et un multiple de 9 (3*3) et de 8 (qui est divisible par 2 et par 4)
soit 3*5*7*3*2*2*2 =2520
on peut donc diviser ce nombre par :
2, 3, 4 (=2*2), 5, 6 (=2*3), 7, 8 (=2*2*2), 9 (=3*3), 10 (=2*5)
119. Trouver le plus petit nombre qui, divisé par 4, par 8 ou par 9 donne toujours pour reste 1.
Réponse.
4*8*9 = 288 si on ajoute 1 = 289
16*9= 144 si on ajoute 1 = 145
8*9= 72 si on ajoute 1 = 73
120. Trouver le plus petit nombre qui, divisé par 5, par 12 ou par 14 donne toujours pour reste 3.
Réponse.
soit x le nombre
5 est un nombre premier
12= 3*2*2
14=7*2
5*12*14 = 840 si on rajoute 3 = 843 il restera 3
5*12*7 = 420 si on rajoute 3 = 423 il restera 3
5*6*7 = 210 si on rajoute 3 = 213 (213/12 = 17 reste 9)
5*3*7 = 105 si on rajoute 3 = 108 il ne restera pas toujours 3 ( 108= 9*12)
le nombre le plus petit est donc 423
121. Quel est le plus petit nombre entier dont le carré soit un multiple de 120 ?
Réponse.
120 = 8*5*3
16*25*9 = 3600 dont la racine carrée est 60
le nombre est 60
122. Trouver deux nombres dont le produit est 1 617 et le P.G.C.D. 7. Donner toutes les solu-
tions (Représenter par a et b les quotients, premiers entre eux, des nombres cherchés par leur
P.G.C.D. 7).
Réponse.
1617 : 7 * 7 * 11 * 3
a=7 et b=231 non premiers entre eux, 231 et 7 sont divisibles par 7
77 et 21 non premiers entre eux, 77 et 21 sont divisibles par 7
123. Trouver deux nombres dont le produit est 1 734 et le P.G.C.D. 17. On donnera toutes
les solutions.
(Représenter par a et b les quotients, premiers entre eux, des nombres cherchés par leur
P.G.C.D. 17.)
Réponse.
1734 = 17 * 102 = 17 * 17 * 3 * 2
les prduits sont donc :
1° 51 * 34 et 17 * 102
2° 2 nombres sont premiers entre eux s'ils n'admettent pas de diviseur commun autre que 1
1734/51=34
1734/34= 51
34 et 51 ayant un diviseur commun 17, ne sont pas premiers entre eux.
1734/17=102
1734/102=17
a=102 et b = 17 sont premiers entre eux.
124. Deux boites renferment l'une 301 crayons, l'autre 210 c rayons. On veut répartir les
crayons contenus dans chacune de ces boites en paquets contenant tous le même nombre de
crayons. Combien de crayons devra-t-on mettre dans chaque paquet ? Combien de paquets fera-
t-on avec chacune des boites ?
Réponse.
on devra mettre 7 crayons par boite :
301= 7*43 => 43 boites de 7
210 = 2*5*3*7 => 30 boites de 7
125. On dispose de 48 pommes, 72 poires et 240 oranges. Avec ces fruits, on veut garnir le
plus grand nombre possible de corbeilles, de même composition. Combien de corbeilles pourra-
t-on remplir, et quelle sera la composition de chacune d'elles ?
Réponse.
48= 16*3 = 3*8*2
72= 8*3*3 = 3*8*3
240= 16*5*3 = 3*8*2*5
on pourra remplir 24 corbeilles (PGCD=24) avec 2 pommes, 3 poires et 10 oranges
126. Deux volumes ont l'un 940 pages, l'autre 1 200 pages. Ils sont formés de fascicules
comportant pour chacun un même nombre de pages compris entre 30 et 50.
Trouver le nombre de pages de chaque fascicule et le nombre de fascicules dans chaque volume.
Réponse.
940 = 4*235= 4*5*47
ce volume contient 20 fascicules de 47 pages
1200= 16*75= 16*25*3
ce volume contient 25 fascicules de 48 pages
127. On divise le périmètre ABCD d'un champ rectangulaire de 120 m de long sur 90 de large
en segments égaux mesurés par un nombre entier de métrés. Par tous les points de division obtenus
sur un côté, on mène les droites parallèles à l'autre. On forme ainsi un quadrillage. On veut planter
des arbres à tout les sommets de ce quadrillage, y compris ceux qui sont situés sur le pourtour.
1° Le problème admet plusieurs solutions. Pour les solutions correspondant aux quatre plus
grands intervalles, indiquer le nombre d'arbres nécessaires.
2° Quel serait le nombre d'arbres nécessaires dans les quatre cas envisagés en ne plantant
pas d'arbres sur le pourtour ?
3° On dispose de 90 arbres. Quelle solution faut-il adopter pour en utiliser le plus ?
Réponse.
128. En comptant les marches d'un escalier 2 par 2, il en reste une; en les comptant 3 par 3,
il en reste une ; en les comptant 5 par 5, il en reste quatre. Quel est le nombre des marches de cet
escalier, sachant qu'il est moindre que 100 ? Y a-t-il plusieurs réponses possibles ?
Réponse.
129. Sur une route, à partir d'un point A, on a placé des bornes kilométriques et des poteaux
télégraphiques espacés de 84 m. Quelle est la plus petite distance qu'on puisse parcourir sur cette
route à partir de A pour trouver ensemble une borne et un poteau ? Combien comptera-t-on de
bornes et de poteaux sur cette distance ?
Réponse.
130. Le périmètre des roues avant d'une voiture est 2,75 m; celui des roues arrière est 3,30 m.
Quelle est la plus petite distance que doit parcourir la voiture pour que les roues avant et les roues
arrière aient fait un nombre entier de tours ?
Réponse.
131. On a distribué des billes à 462 enfants d'une colonie scolaire; tous les enfants ont le même
nombre de billes. En promenade, ils rencontrent 168 camarades; ils partagent avec eux leurs billes
de telle façon qu'après le partage les parts de tous les enfants soient encore égales. Quel est le plus
petit nombre de billes que devaient posséder les 462 enfants pour que le partage soit possible dans
ces conditions ? Quelle est la part de chaque enfant après le partage ?
Réponse.
132. Trois coureurs motocyclistes tournent sur la piste d'un autodrome. L'un parcourt un
tour de piste en 55 s, le second en 1 mn et le troisième en 75 s.
Ils partent ensemble. En admettant que leurs vitesses restent constantes, au bout de combien
de temps repasseront-Ils ensemble sur la ligne de départ ? Combien chacun d'eux aura-t-ll fait de
tours de piste ?
Réponse.
133. Un industriel fabrique des pains de savon parailélépipédiques dont les dimensions sont
7,5 cm, 5 cm et 2,25 cm. Il les emballe dans des caisses cubiques de dimensions aussi réduites que
possible. Quelles sont les dimensions de ces caisses ? Combien chacune contient-elle de pains de
savon ? Combien faudrait-il de caisses pour que leur contenu total puisse être partagé en paquets
de 100 savons ?
Réponse.
134. Un phare émet trois signaux différents, le premier toutes les 16 s, le second toutes les
45 s, le troisième toutes les 2 mn 30 s. Ces trois signaux sont émis simultanément à minuit. A quels
intervalles sont émis simultanément deux de ces signaux, premier et deuxième (ou premier et
troisième, ou deuxième et troisième) ? A quels intervalles les trois signaux sont-ils émis simultané-
ment ?
Réponse.
135. Des autobus partent d'une même station dans trois directions différentes. Ceux de la
première ligne reviennent à leur point de départ au bout de 2 h 10 mn et séjournent 20 mn à la
station; ceux de la deuxième ligne reviennent au bout de 1 h 48 mn et séjournent 12 mn: enfin ceux
de la troisième ligne reviennent au bout de 1 h 36 mn et séjournent 4 mn.
Trois autobus partent en même temps de la station commune le lundi matin à 7 h, un dans
chaque direction. Trouver à quelle heure ils repartiront ensemble de la même station ?
Réponse.
136. Trois bateaux partent ensemble de Marseille pour des distinctions différentes. Pour l'aller
et le retour, le premier met 15 jours, le deuxième 18 jours, le troisième 60 jours. On demande :
1° Au bout de combien de Jours les trois bateaux se retrouveront ensemble à Marseille pour
la première fois.
2° Combien de voyages chacun des bateaux aura accompli pendant ce temps ?
Réponse.
137. Des éclaireurs sont réunis. Ils sont plus de 500 et moins de 1 000. Ils se partagent en groupes
de 24, puis en groupes de 20, puis en groupes de 18, et chaque fois, il en reste 9. Trouver le nombre
des éclaireurs.
Ces éclaireurs peuvent-ils se ranger en carré, c'est-à-dire se placer par files et colonnes, le
nombre de files étant égal au nombre des colonnes ?
Réponse.
Réduire à leur plus simple expression les fractions suivantes :
138. 938/1236; 1020/3696
139. 1070/1296; 4545/9999
140. 738/1080; 1152/2844
141. 2548/6964; 2160/2700
142. 3182/5654; 2646/22050;
143. 6958/7518; 7056/9072;
144. (2³*3*5⁴)/(2⁵*5²*7²)
145. (12*15*24)/(18*14*16)
146. (17*11*23*35)/(69*77*85)
147. (12*25*54*46)*(40*18*24*72)
Réponse.
- Réduire les fractions suivantes au plus petit dénominateur commun (après avoir réduit chacune
d'elle à sa plus simple expression s'il y a lieu) :
148. 22/45; 35/60; 23/90; 35/75;
149. 75/125; 630/270; 375/750; 210/630;
150. 132/630; 884/240; 574/360; 91/840;
151. 22/675; 75/165; 690/300; 1596/2835;
152. 286/2145; 1225/4900; 1755/2340; 16562/41405;
Réponse.
Effectuer les opérations suivantes :
153. 8/15 + 35/21 + 28/63;
154. 42/53 + 135/90 - 24/36;
155. 11/12 + 7/4 + 30/135;
156. 4/9 - 84/112 + 15/24;
157. (22/44 + 35/60 - 25/75)* 2/3
158. (15/27 - 18/47 - 32/48)*5/7
159. (75/125 + 630/250 -375/750) /3/4
160. (11/12 - 35/42 + 85/75) /6/11
Réponse.
161. Trouver une fraction égale à 756/1260 dont le dénominateur soit 65.
162. Trouver une fraction égale à 132/198 dont le dénominateur soit 72.
163. Trouver une fraction égale à 156/8640 dont le numérateur soit 117.
164. Trouver une fraction égale à 201/235 dont le numérateursoit 72.
165. Trouver une fraction égale à 192/240 dont la somme des termes soit égale à 108.
166. Trouver une fraction égale à 160/224 dont la somme des termes soit égale à 96.
167. Trouver une fraction égale à 396/612 dont la différence des termes soit égale à 150.
Réponse.
168. Trouver une traction égale à 66/176, dont la différence des termes soit égale à 150.
Réponse.
169. Trouver une fraction égale à 648/360 dont la somme des termes soit égale à 70.
Le problème serait-il possible si, au lieu d'être 70, la somme des termes était
un nombre quelconque. Ecrire toutes les fractions égales à 648/360 dont la somme des termes est comprise entre 14
et 100.
Réponse.
170. Trouver une fraction égale à 5/8 sachant que le P. G. C. D. de ses termes est 21.
171. Trouver une fraction égale à 3/7, sachant que le P. G. C. D. de ses termes est 20.
172. Trouver une fraction égale à 7/15, sachant que le P. P. C. M. de ses terme» est 1 260.
173. Trouver une fraction égale à 6/13, sachant que le P. P. C. M. de ses termes est 936.
174. Trouver toute» les tractions égales à 108/504 et ayant des termes plus petits.
Réponse.
175. Calculer l'excès de l'unité sur la fraction 8/11
On ajoute 5 à chacun des deux termes de cette fraction (on remarquera que la différence des
deux termes ne change pas); calculer l'excès de l'unité sur la fraction ainsi obtenue. Dire d'après
cela si la fraction 8/11 augmente ou diminue lorsqu'on ajoute un même nombre à ses deux termes.
Réponse.
176. En employant un procédé analogue, dire si la fraction 15/7 augmente ou diminue lorsqu'on
ajoute un même nombre à ses deux termes.
Réponse.
177. Reconnaître si les fractions suivantes sont décimales, et le cas échéant, les exprimer sous
forme de nombres décimaux :
14/35; 954/1125; 91/520; 48/140; 143/275; 78/72;
Réponse.