Solutions à des problèmes mathématiques de 4ème
1. Quelles sont les valeurs absolues des nombres relatifs suivants :
(-7), + 12: (-1,2|):(+5/7):(-2/3): (-4/11)
Réponse.
7 12 1,2 5/7 2/3 4/11
Quels sont les nombres opposés des nombres relatif» suivants :
2. (+ 6): (+ 8): (- 5): (+ 2/3) -(-5/6)- (- 0,5)
3. -3/4; +4/3 ; -9; -6; -7/11; +0,3
Réponse.
2. (- 6): (- 8): (+ 5): (- 2/3) -(+5/6) - (+ 0,5)
3. +3/4; -4/3 ; +9; +6; +7/11; -0,3
4. Les intervalles de temps étant comptés à partir du 1er janvier 1960, zéro heure, quels sont
1° les dates (jour et heure) déterminées par les nombres relatifs suivants ;
+ 35h; -2j6h; + 4j8h; -52h; -84h ?
2° les nombres relatifs (exprimés en heures) correspondent aux dates suivantes :
25 décembre 1959, 21 heures; 4 Janvier 1960, 15 heures; 10 novembre 1959, 10 heures?
Réponse.
+35h = +24+11 = 2 janvier 1960 11h
-2j6h = 30 décembre 1959 18h
+4j8h = 5 janvier 1960 8h
-52h= -2j4h = 30 décembre 1959 20h
-84h = -3j 12 = 29 décembre 12h
5. Un commerçant a effectué les opérations suivantes :
Encaissement 1 250 F; débours :-175 F; encaissements 625 F puis 930 F; débours :-730 F.
puis 150 F.
Exprimer ces diverses opérations par des nombres relatifs.
Réponse.
+1250
-175
+625
+930
-730
-150
6. Un joueur, au cours de diverses parties a gagné 30 F, puis 20 F; il a perdu 12 F, puis 20 F,
enfin il a gagné 8 F. Exprimer ces gains et pertes par des nombres relatifs.
Réponse.
+30, +50, +38, +18, +26
7. Le tableau ci-dessous donne d'une part les hauteurs au-dessus du niveau de la mer de
quelques montagnes, d'autre part les profondeurs de certaines mers ou fosses marines :
Mont Everest : 8 840 m ; Fosse de Mindanao : 10 790 m;
Chimborazo: 6 250 m; Fosse du Cap-Vert : 6290 m;
Kenya : 5 600 m; Détroit de Gibraltar : 450 m;
Mont Blanc : 4 810 m : Mer Morte : 400 m.
note : Chimborazo : volcan de l'Équateur
Exprimer ces altitudes et ces profondeurs à l'aide de nombres relatifs.
Réponse.
par rapport au niveau de la mer :
Mont Everest : +8 840 m ; Fosse de Mindanao : -10 790 m;
Chimborazo: +6 250 m; Fosse du Cap-Vert : -6290 m;
Kenya : +5 600 m; Détroit de Gibraltar : -450 m;
Mont Blanc : +4 810 m : Mer Morte : -400 m.
8. Une usine fabriquant des automobiles communique le tableau suivant de sa production
mensuelle pendant l'année écoulée :
Janvier : 18 251; Mai : 21 004; Septembre : 17 877;
Février: 19 231; Juin : 20 438; Octobre : 21 093;
Mars : 19 120; Juillet : 15 387; Novembre : 20 132;
Avril : 20 137; Août : 9754; Décembre : 10 243.
Exprimer par des nombres relatifs les variations de la production mensuelle
1° d'un mois par rapport au mois précédent;
2° d'un mois par rapport au mois de Janvier.
Réponse.
1° d'un mois par rapport au mois précédent ;
980, -111, 1017, 867, -566, -5051, -5633, 8123, 3216, -961, -9889
2° d'un mois par rapport au mois de Janvier.
980, 869, 1886, 2187, 2753, -2864, -8497, -374, 2842, 1881, -8008
9. Dans la liste suivante, le nom de chaque corps est suivi de sa température de fusion
repérée dans l'échelle centésimale :
Hydrogène : - 250°; Sodium: 97°; Or : 1063°;
Mercure : - 39°; Etain : 231°; Cuivre : 1083°;
Glace : 0°; Plomb : 317°; Fer : 1500°;
Phosphore blanc : 44°; Argent : 960°: Tungstène : 3100°.
Exprimer ces températures quand on prend comme origine le zéro absolu qui correspond
à - 273°.
Réponse.
Hydrogène : 273 - 250° = 23°
Sodium: 273 + 97° = 370°
Or : 273 + 1063° = 1336°
Mercure : 273- 39°= 234°
Etain : 273 + 231° = 504°
Cuivre : 273+ 1083°;
Glace : 273°;
Plomb : 273 + 317° = 590°
Fer : 273 + 1500° = 1773°
Phosphore blanc : 273 + 44°= 317°
Argent : 273 + 960° = 1213°
Tungstène : 273 + 3100° = 3373°
10. Un helicoptère décolle du sommet d'un gratte-ciel de 20 étages. Il s'élève de 330 m, descend
de 250 m, remonte de 380 m, et atterrit enfin sur le toit d'un gratte-ciel de 16 étages. La hauteur
moyenne d'un étage est 2,75 m.
En prenant comme origine le sommet du gratte-ciel de départ, comme sens positif le sens
ascendant, donner les abscisses des différents points atteints au cours des ascensions et des descentes
successives, ainsi que celle du point d'atterrissage.
Réponse.
16 étages = 16 * 2,75 = 44m
20 étages = 20 * 2,75 = 55m
positions successives par rapport au gratte-ciel de départ :
330m
330-250 = 80m
380+80 = 460m
à l'arrivée il sera à une hauteur relative de -11m (44-55=11)
11. Un promeneur parcourt une route d'un mouvement de va-et-vient en faisant des pas de
75 cm. Il fait alternativement, dans un sens et dans l'autre : 300 pas, 472 pas, 140 pas, 176 pas.
280 pas, 72 pas.
On choisit comme sens positif sur la route le sens dans lequel se déplace un promeneur au
début de sa promenade, comme origine son point de départ, et comme unité de longueur le mètre.
Quelles sont les abscisses des points où le promeneur revient sur ses pas, et quelle est l'abscisse
du point où il termine sa promenade.
Réponse.
il fait 300-472+140-176+280-72= 0 pas
ou en metres:
225 - 354 + 105 - 132 + 210 - 54 = 0m
il fait d'abord (+) + 225m
il fait dans l'autre sens (-) - 354m et arrive à +225-354 = -129m
dans l'autre sens 140 pas(+) et arrive au point -129 + 105 = -24m
dans l'autre sens 176(-) pas et arrive au point -24-132 = -156m
dans l'autre sens 280(+) pas et arrive au point -156 + 210= 54m
dans l'autre sens 54(-) pas et arrive au point 54 -54 = 0m = point de départ
12. Un thermomètre en gradué suivant l'échelle centésimale. Au cours de diverses expériences,
on lit les indications suivantes :
+ 15°: -7°; -12°; +90°; +30°; -20°.
Par quels nombres ces températures seraient-elles représentées si l'on prenait pour origine
des températuresle point de fusion du mercure -39°C.
Réponse.
si l'on change la réference de 0° à - 39° il faut rajouter 39° à toutes les températures
ce qui donne :
15+39 = 54°
-7+39 = 32°
-12 +39= 27°
90+39 = 129°
30+39 = 69°
-20+39 = 19°
13. Un chef de famille prend pour origine des dates l'année de sa naissance. Il trouve que
les dates des naissances de son père, de sa mère, de sa femme et de ses trois enfants sont :-25,
- 22, + 2, + 24, + 30, + 33.
Ce chef de famille a 40 ans; quels sont les âges des divers membres de la famille.
Réponse.
son père 40+25=65 ans
sa mère 40+22=62ans
sa femme 40-2=38 ans
ses enfants : 16,10 et 7 ans
14. Sur la voie ferrée Paris-Istanbul, les distances en kilomètres de différentes villes a Paris
sont données par le tableau suivant :
On prend pour sens positif celui de Paris vers Istanbul. Quelles sont les abscisses des diverses
stations quand on prend Trieste pour origine ?
Lausanne : 509; Zagreb : 1 547;
Milan : 822; Belgrade : 1 961;
Venise : 1089; Sofia : 2 378;
Trieste : 1247; Istanbul : 3 034.
Réponse.
179. La vitesse de la lumière est 3 x 10⁵ km/s. Calculer la distance de l'étoile polaire à la
terre, sachant que la lumière met 47 années pour nous parvenir.
Réponse.
on considère une année à 365 jours 1/4
soit 47 * 365,25 * 24 * 3600 = 1483207200s
3 * 10⁵ * 1483207200 = 4,4496216 * 10¹⁴ km qui est la distance
180. Les ouvrages de sciences naturelles nous apprennent qu'un globule rouge de sang humain
a la forme d'un disque de 7 X 10⁻³ mm de diamètre et 2 X 10⁻³ mm d'épaisseur, qu'il y a 5 litres
de sang en circulation dans le corps humain et que tous les globules rouges placés bout a bout
formeraient une longueur de 175 x 10⁶ m.
D'après ces données calculer le nombre de globules rouges contenus dans 1 cm³ de sang, et
la hauteur obtenue en empilant les uns sur les autres les globules rouges contenus dans 1 dm³ de
sang.
Réponse.
la taille du globule rouge est donc d'un diamètre de 7 μm et de 2 μm d'épaisseur
il y a dans 5 litres de sang 175*10⁶*10⁶/7 = 25 * 10¹² globules rouges
5 litres = 5dm³ =5000cm³;
dans 1 cm³ de sang il y a donc 25*10¹² / 5 10³ = 5 * 10⁹ globules rouges
dans 1 dm³, soit 1 litre, il y aurait 5*10¹² globules rouges et,
en les empilant, on aurait une hauteur de 5*10¹² * 2 = 10*10¹²μm = 10*10⁶m
données biologiques : il y a entre 4,5 et 5,5 10⁶ globules rouges par mm³
de sang.( ou 4,5 et 5,5 10⁹ par cm³ ou 4,5 et 5,5 10¹² par dm³)
181. 1° En assimilant un atome à une petite sphère dont le rayon est de 1 cent millionième
de centimètre, calculer le nombre d'atomes contenus dans 1 cm³ de matière. (On prendra pi = 3.141592)
2° En supposant que l'on puisse extraire les atomes à la cadence de 1 milliard par seconde,
calculer le temps nécessaire pour extraire tous les atomes contenus dans 1 cm³ de matière.
(On admettra, ce qui est sensiblement exact, qu'il y a 1 milliard de secondes en 30 ans).
Réponse.
1° le volume d'une sphère est de 4/3πR³= 4/3π /(10⁸)³ = 4/3π/10²⁴ = 4,188790204/10²⁴ cm³
dans 1cm³ il y a donc 1/4,188790204 * 10²⁴ = 0,23873241468 * 10²⁴ atomes.
10²⁴= 1 million de milliards de milliards
2° 0,23873241468 * 10²⁴ /10⁹= 2,3873241468 10¹⁴ secondes = 238 732 milliards de secondes
nombre d'années = 238 732,41468 * 30 =7 161 972 années
Dans les expressions suivantes que l'on peut écrire : ax² + bx + c, calculer la valeur numérique
de l'expression : b² — 4 ac.
210. 6x²-5x + 1. 211. 12x²-11x -15.
212. 2x² + 7x - 184 213. -x²-9x-52.
Réponse.
210. 6x²-5x + 1 => a=6 b=-5 c=1 =>b²-4ac= 25-24 = 1
211. 12x²-11x -15 => a=12, b=-11 c=-15 => b²-4ac = 121+720 = 841
212. 2x² + 7x - 184 => a=2, b=7, c=-184 =>b²-4ac = 49 + 1472 = 1521
213. -x²-9x-52 => a=-1, b=-9, c= -52 => b²-4ac = 81 - 208 = -127
436. Un marchand de primeurs a acheté des fraises, il en a vendu le 1/3 a raison de 1,60 F le kg.
les 2/5 à raison de 1,50 F le kg et il a dû solder le reste, soit 8 kg, à 1,20 F le kg. Il a ainsi réalisé
un bénéfice de 7,20 F. Calculez le nombre de kilogrammes achetés et le prix d'achat du kilogramme.
Réponse.
1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15
le reste 4/15 = 8kg => 1/15 = 2kg => 5/15= 10kg et 6/15 = 12kg
il a donc vendu pour 10*1,60 + 12*1,5 +9,60 = 43,60F
il a acheté : 10 + 12 + 8 = 30 kg de fraises
il a fait un bénéfice de 7,20F et donc son prix d'achat a été 36,40F
prix d'achat au kilo : 36,40/30 = 1,21F environ
437. Une personne dépense les 3/5 de ce qu'elle possède dans son portefeuille. Avec la somme
dont elle dispose encore, elle fait deux achats : le montant de l'un d'entre eux est le 1/3 du montant
de l'autre. Sachant que la différence entre les montants de ces deux achats est 7 F, calculez
combien cette personne possédait dans son portefeuille.
Réponse.
soit x le montant du premier achat et y celui du deuxième
x=y/3
y-x=7 => y = 7+x => x=(7+x)/3 => 3x= x+7 =>2x=7 x=3,50F
y= 7+3,5= 10,50F et donc 2/5=14F
cette personne possédait dans son portefeuille 14F*5/2 =35F
438. Au cours des vacances, une personne a séjourné dans un hôtel dont le prix de pension
était de 25 F, puis dans un autre hôtel dont le prix de pension était de 30 F (à ces prix s'ajoutent
10% pour le service). Ainsi, pour 14 jours de vacances, elle a payé 418 F. Pendant combien de
jours est-elle restée dans chaque hôtel ?
Réponse.
soit x le temps resté dans le 1er hôtel et y celui dans le 2eme hôtel
dans le premier hôtel il a dépensé x * ( 25F + 2,50) = 27,5x
dans le second hôtel il a dépensé y * (30 + 2,50) = 32,5y
x+y=14 => x=14-y
27,5x + 33y=418 => 27,5 * (14-y) + 33y = 418
385 - 27,5y + 33y = 418 => 5,5y= 418-385=33
y=33/5,5 = 6 jours
x= 14-6 = 8 jours
439. On a loué un autocar pour amener en promenade 50 enfants. Chacun d'eux devait payer
3 F. Le jour du départ, un certain nombre d'enfants sont absents. Chacun des présents doit alors
payer 0,75 F de plus qu'il n'était prévu, le prix de location de l'autocar restant le même. Combien
y avait-il d'enfants absents ?
Réponse.
soit x le nombre d'enfants absents
il fallait payer 50 * 3 = 150F
(50-x) * 3,75 = 150F
187,50 - 3,75x =150
37,50=3,75x => x= 10 enfants absents
440. Un avion parti de Paris-Le Bourget à 7 h se dirige sur Marseille à la vitesse de 680 km/h.
Un avion parti de Marseille à 7 h 30 mn se dirige vers Paris à la vitesse de 520 km/h. La distance
Paris-Marseille est 720 km. À quelle heure et à quelle distance de Paris les deux avions se croiseront-ils ?
Réponse.
soit x le temps en minutes (x >30mn) mis par l'avion partant de Paris pour croiser l'autre avion
au moment du croisement la somme des distances parcourues sera de 720 km et sachant que l'avion
partant de Marseille a 30 mn de retard par rapport à celui partant de Paris.
68*t/6 + 52*(t-30)/6 = 720
68t/6 + 52t/6 - 260 =720 =>
120t/6 = 980
t=980*6/120 = 49 mn
441. Une fermière porte au marché une corbeille pleine d'oeufs qu'elle se propose de vendre
0,25 F pièce. Mais en chemin elle casse 10 oeufs. Elle calcule alors qu'il lui faudra vendre 0,30 F pièce
les ceufs qui lui restent pour recevoir la même somme. Combien d'oeufs la corbeille contenait-elle ?
Réponse.
soit x le nombre d'oeufs au départ
0,25x = (x-10) * 0,30 = 0,3x-3
0,05x=3 => x= 3/ 0,05 = 60 oeufs
442. Un horloger a vendu 26 montres-bracelets en acier chromé et 14 montres-bracelets en or.
Le prix d'une montre-bracelet en or est quadruple du prix d'une montre-bracelet en acier chromé.
Trouver le prix de chacune d'elles sachant que le prix de vente total a été 10 496 F.
Réponse.
soit x le prix de la montre-bracelet en acier chromé
4x est le prix de la montre-bracelet en or
26x + 14*4*x= 10496F
26x + 56x = 10496
82x=10496 => x= 10496/82 = 128 F
la montre en or vaut : 128*4= 512F
vérification :
26*128 + 14*512= 3328 + 7168= 10496F
443. Deux personnes achètent chacune un coupon d'un même tissu; ces coupons ont des
longueurs différentes, mais leur longueur totale est de 41,2 m. Les personnes prélèvent toutes
deux 8 m sur leur coupon et il reste alors à l'une le double du tissu qui reste à l'autre. Quelle
était la longueur primitive de chaque coupon ?
Réponse.
soit x la longueur du premier coupon
soiy y la longueur du second coupon
x + y = 41,20 => y =41,20-x
x-8 = 2* (y-8)
x-8 = 2 * (41,2-x -8) = 82,4 -2x -16
3x = 82,4 - 16 + 8 =74,4 => x = 24,8 m et donc y= 41,20-24,8 = 16,4m
444. Une gratification de 466 F est partagée entre trois employés; le premier reçoit le
double de la part du second plus 4 F; le second reçoit 40 F de moins que le troisième. Trouver la
part de chacun.
Réponse.
soit x la part du second
le 1er reçoit 2x+4
le 3eme reçoit x+40
x +2x+4 +x+40 = 466
4x= 466-44
x= 105,50F part du second
le 1er reçoit 2*105,5 + 4= 215F
le 3eme reçoit 105,50 + 40 = 145,50 F
vérification :
105,5F + 215F + 145,50F = 466F
445. Deux fermiers revenant du marché constatent qu'ils ont reçu la même somme; l'un a
vendu 18 pigeons et l'autre 10 poulets. Le prix d'un poulet était supérieur de 4F au prix d'un
pigeon. Trouver le prix du poulet et celui du pigeon.
Réponse.
soit x le prix du pigeon
le prix du poulet est x+4
10*(x+4) = 18*x
10x + 40 = 18x => 8x=40 x = 5F
le prix du poulet est de 5+4 = 9F
vérification:
10*9 = 18*5 ou 90=90 c'est correct.
446. Deux ouvriers travaillent dans un même atelier; le premier gagne par jour les 3/4 du
salaire journalier du second. Au bout d'un certain temps, le premier, ayant travaillé 4 jours de
plus que le second, les deux ouvriers reçoivent tous deux la même somme de 288 F. Calculer le
salaire journalier de chacun.
Réponse.
soit x le salaire journalier du second
le premier touche 3x/4
soit y le nombre de jours travaillé du second, le premier a travaillé y+4 jours
y*x = (y+4)* 3x/4
yx= 3yx/4 + 12x/4
yx/4 = 12x/4 => yx = 12x => y=12 jours pour le second et donc le premier a travaillé 16 jours
12*x + (16)*3x/4 = 576F
24x=576
x= 144F salaire du second => le premier gagne 144*3/4 = 108F
vérif :
144*12 = 108*16 = 1728
447. Une personne a pris 140 repas tantôt dans un restaurant à prix fixe où elle dépense
5 F par repas, plus 10 % pour le service, tantôt dans une cantine où elle ne débourse que 2 F par
repas. Sa note de cantine dépasse de 40 F sa note de restaurant. On demande combien de repas
ont été pris respectivement au restaurant et à la cantine.
Réponse.
coût d'un repas au restaurant : 5F+10%= 5,50F
soit x le nombre de repas pris à la cantine.
nombre de repas pris au restaurant : 140-x
note de cantine = note de restaurant plus 40F
x*2 = (140-x) *5,50 + 40
2x = 770 - 5,5x +40
7,5x = 810
x= 810/7,5 = 108 repas pris à la cantine
et donc 140 -108= 32 repas pris au restaurant
vérif :
108 *2 = 216 F à la cantine
32 * 5,5 = 176 F au restaurant soit 40F de moins qu'à la cantine.
448. Une personne part de chez elle avec une certaine somme. Dans un magasin elle fait un
achat qui lui coûte les 3/4 de cette somme. N'ayant plus suffisamment d'argent, elle revient chez
elle, y prend 9 F puis va faire une autre acquisition qui lui coûte les 4/7 de ce qu'elle a. Enfin, sur
le chemin du retour, elle donne a un pauvre 1/9 de ce qui lui reste et rentre à son domicile avec
4,80 F. Quelle somme cette personne avait-elle emportée en sortant de chez elle la première fois ?
Réponse.
soit x la somme qu'elle possédait au départ
dans le magasin elle dépense les 3/4, il lui reste donc x/4
elle rajoute 9F , il lui reste donc x/4 + 9
elle en dépense les 4/7, il lui reste donc les 3/7 : 3/7 (x/4+9) =
3/7 (x+36)/4 = (3x +108)/28 et elle en donne 1/9 il lui reste 8/9 soit
8/9 * (3x +108)/28 = (24x + 864)/252 = (6x +216)/63 = 4,80
(6x +216) = 302,40 =>6x= 302,40-216 = 86,40 => x= 14,40F
vérif :
1/4 de 14,40 = 3,6 F => 3,6 + 9 = 12,6F
3/7 * 12,6 = 5F40 qui est le reste
8/9 * 5,4 = 4,80F qui est le nouveau reste, ce qui est correct.
449. Deux frères voudraient acquérir une propriété. Or le premier ne possède que les 14/19
de son prix, et le second n'en pourrait payer que les 9/25. Les deux frères l'achètent ensemble, et
il leur reste 7 360 F. Quel est le prix de la propriété ?
Réponse.
14/19 = 350/475
9/25 = 171/475
350/475 +171/475 =521/475 soit en trop 46/475
46/475 = 7360F
475/475 = 7360*475/46 =76 000F prix de la propriété.
450. Trois associés se partagent le bénéfice d'une entreprise commune. Le premier en prend
les 3/5. le deuxième les 2/7 et le troisième le reste. À combien se montait le bénéfice à partager,
sachant que le premier associé a touché 1 428 F de plus que le troisième ?
Réponse.
soit x le bénéfice
le premier a touché 3x/5
le second a touché 2x/7
le troisième a touché x-1428
x=3x/5 +2x/7 + 3x/5 -1428 => 35x/35= 21x/35 + 10x/35 +21x/35 - 1428
17x/35 = 1428 => x= 1428*35/17 =2940 F
vérif :
le 1er a touché 3/5 * 2940 = 1764 F
le 2e a touché 2/7 * 2940 = 840 F
le 3e a touché 1764 - 1428 = 336 F
total 2940 F
451. 1° Une marchandise a été achetée 14 F. Elle est vendue avec un bénéfice de 30 % sur
le prix de vente. Trouver le prix de vente.
2° Une marchandise vendue avec un bénéfice de 25 % sur le prix de vente rapporte 12 de plus
que si elle était vendue avec un bénéfice de 20 % sur le prix d'achat. Trouver le prix d'achat.
Réponse.
1° soit x le prix de vente
x - 30x/100 = 14 => 70x/100 = 14 => x= 1400/70 = 20F
2° soit x le prix de vente et y le prix d'achat :
le prix d'achat est égal au prix de vente moins le bénéfice
y= x - 25x/100 => y= 75x/100
25x/100 - 20y/100 = 12 => 25x/100 - 20 *(75x/100)/100 =12
25x/100 - (75x/100)/5 = 12
25x/100 - (15x/100) = 12
10x/100 = 12 => x= 120 F prix de vente
y= 75x/100 = 90 F prix d'achat
452. Deux cyclistes partent en même temps d'une ville A et se dirigent vers une ville B. Le
premier fait 17,5 km par heure, et le second 15 km par heure. Le premier rencontre à 10 km du
point de départ un ami avec lequel il revient en A, à bicyclette, et avec la même vitesse qu'au
départ. Il reste en A en compagnie de son ami pendant 20 mn, puis il repart et arrive en B en même
temps que le premier cycliste qui avait pris 40 mn de repos en cours de route. Calculer la distance
AB.
Réponse.
1ere solution (réference C)
le premier cycliste fera donc 3*10 km + 20mn pour arriver au point C (à 10km)
à raison de 17,5 km/h , il y passera donc au bout de (30 * 60) /17,5 + 20 en minutes
soit (1800 + 350)/17,5 =2150/17,5 ou 4300/35 minutes ou 860/7 minutes (2h02 environ)
le second cycliste roule à 15 km/h, il arrivera en C au bout de 10*60/15 soit 40 minutes
on peut considérer qu'il s'y arrête 40 mn; on peut donc dire qu'il repart de C au bout de 80 minutes
soit 1h20 puis finit son parcours à 15 km/h (80 mn = 2800/35 mn = 560/7)
le premier cycliste a donc au moment de passer C un retard de (4300-2800)/35 = 300/7 minutes
ou 5/7 d'heure(environ 43 minutes)
pendant ce temps le cycliste B a parcouru à raison de 15km/h : 15*5/7 = 75/7 km (environ 10,7km)
sachant que le premier cycliste rattrape l'autre cycliste à raison de 2,5km/h =>
75*60/7 /2,5 = 257 mn= 4h 17mn depuis C
s'il roule à 17,5km/h : 17,5/60 * 4500/17,5 = 75 km auxquels il faut rajouter 10km (A à C) soit 85 km
Pierre et Jacques, 2 cyclistes, partent de A à 10h du matin pour aller vers B distant de 85 km.
Pierre roule à 17,5 km/h. Il fait d'abord 10km puis revient sur ses pas en A où il répare ses freins ce qui lui prend 20mn
puis il repart toujours à 17,5km/h.
Jacques roule à une vitesse constante pendant 2 heures puis s'arrête 40mn.
Quelle doit être le vitesse de Jacques pour qu'ils se rejoignent en B et à quelle heure se rencontreront-ils ?
Réponse.
Pierre fait d'abord 10km, revient sur ses pas attend 20mn puis repart vers B.
Tout se passe comme s'il partait après un délai de : 480/7 +140/7 = 620/7 minutes
Jacques faisant une pause de 40mn tout se passe comme s'il partait lui-aussi
avec un retard, ici de 40mn soit 280/7.
Tout se passe donc comme si Pierre partait avec un retard sur Jacques de :
620/7 - 280/7 = 340/7 de minutes pour faire 85km.
Pierre roulant à 17,5 km/h mettra donc pour couvrir la distance de 85km :
60 * 85 /17,5 = 10200/35 =2040/7 minutes
Jacques mettra lui 2040/7 + 340/7= 2380/7 = 340 minutes
Si Jacques fait 85 km en 340 minutes (5h40) alors en une heure il fait 85*60/340 =15km,
sa vitesse sera de 15km/h.
L'heure d'arrivée sera : 10h40 + 5h40 = 16h20
453. Un vase est rempli aux 3/4 d'eau salée qui pèse 1 080 g par litre. On y verse 3 litres
d'eau pure, et chaque litre du mélange ainsi obtenu pèse 1 070 g. Quelle est la capacité du vase ?
Réponse.
soit x le volume d'eau salée
x*1080 + 3 * 1000 = (x+3) * 1070
1080x + 3000 = 1070x + 3210
10x=210
x= 21 litres d'eau salée qui représentent les 3/4
21*4/3= 28 litres capacité du vase
454. Un boucher a acheté 3 veaux pour une somme globale de 2 451 F; le troisième coûte
477 F de moins que le premier et le deuxième réunis; le premier coûte 53 F de plus que le
deuxième. Quel est le prix de chaque veau ?
Réponse.
soit x le prix du premier veau
soit y le prix du 2eme veau
soit z le prix du 3eme veau
x+y+z= 2451F
z=x+y-477
x= y+53
on remplace x dans le 2 premières équations
y+53 +y+z = 2451
z=y+53 +y -477 = 2y - 424
on remplace z dans la 1ere équation
2y + 2y -424 +53 =2451
4y= 2451 +424-53
y= 705,50
x= 705,50 + 53 = 758,50F
z= 705,5 * 2 - 424 = 987F
soit 758,50F le prix du premier veau, 705,50 celui du 2eme et 987F le prix du 3eme
vérif :
le total fait 2451F
758,50F + 705,50 -987 = 477 F
et le premier coûte 53 F de plus que le 2eme;
ce qui est correct
455. Les fortunes de deux personnes sont telles que l'une est le triple de l'autre. La première
augmente son avoir du tiers de sa valeur primitive, tandis que la seconde perd au jeu le 1/5
de ce qu'elle possédait; la première personne possède alors 23 040 F de plus que la deuxième
Calculer les fortunes primitives des deux personnes.
Réponse.
soit x la fortune du premier et y celle du second
1) x=3y
x + x/3 = 4x/3 après augmentaion
y-1/5y = 4y/5
4x/3 - 4y/5 = 23 400
on remplace x par 3y :
12y/3 -4y/5 = 23400
60y/15 - 12y/15 = 23400
48y/15 = 23400 => y = 15 * 23400/48 =7312,50 F
x= 3y => 7312,50 * 3 = 21937,50F
2) 4x/3 - 4y/5 = 23 400
y=3x
on remplace y par 3x :
4x/3 - 12x/5 = 23 400
20x/15 - 36x/15 = 23 400 =- 16x/15 => 23400 * -15/16 = -21937,50F
y= -21937,50 *3 = - 65812,50
ce seraient des dettes
456. Un grainetier a acheté une certaine quantité de grain. Il en revend d'abord le 1/5 en gagnant
10%, sur le prix d'achat, puis le 1/4 en perdant 20% sur le prix de vente. Ces deux ventes lui pro-
duisent une somme inférieure de 511 F à ce que lui coûte tout le grain restant. Quel était le
montant de son achat ?
Réponse.
soit x le prix d'achat
1/5 + 1/4 = (4 + 5)/20 = 9/20 il reste donc 11/20
4/20 avec 10% sur le prix d'achat
5/20 avec -20% sur le prix de vente
2eme vente :
PV2 =PA - 20%PV =>100PV/100 + 20PV/100 => 120PV/100 =PA
PA= 5x/20 = 120PV2/100 => PV2 =5x/24
francs => 11x/20 - 511 = 4x/20 + 0,4x/20 + 5x/24
ce qui donne (158,4 -100)x/480 = 511
x= 511*480/58,4 = 4200F
vérif :
il en vend 1/5 soit pour 840 F du PA avec 84F de bénéfice : PV = 924F
il en vend 1/4 soit pour 1050F du PA 1050 - 20%PV = PV => 120PV/100 = 1050
=> PV = 875F (perte de 20%PV = 175 et 875 +175 =1050)
924F + 875F = 11x/20 - 511 => 2310 = 11x/20 => x=4200F; c'est correct
457. Deux récipients contiennent une même quantité de vin. Dans le premier, le vin vaut
1,40 F le litre: dans le second, il vaut 1,50 F le litre.
1° On verse dans le premier récipient la moitié du contenu du second,
2° Puis on verse dans le second la moitié du mélange obtenu dans le premier.
3° On calcule alors que le vin contenu dans le second récipient vaut en tout 14,60 F.
Trouver la quantité de vin contenue primitivement dans chacun des récipients.
Réponse.
Soit x le contenu du premier récipient et y celui du second.
x = y
1° le premier récipient devient (x + y/2) et le 2eme devient y/2
2° le second recipient devient y/2 + x/2 + y/4
3° y/2 + x/2 + y/4 => 1,50y/2 + 1,40x/2 + 1,50y/4 =14,60 F
d'autre part x=y
3y/4 + 2,8y/4 + 1,50y/4 = 14,60
7,3 y = 14,60 => y = 2 litres x = 2 litres
458. Une personne habitant un village A part à 7 h à bicyclette, pour se rendre a un autre
village B. Elle y reste 1 h; puis, laissant sa bicyclette chez un garagiste pour une réparation qui ne
peut être faite immédiatement, elle rentre à pied en A où elle arrive à 10 h 20 mn. Sachant que la
vitesse de cette personne est 12 km/h à bicyclette et 4 km/h à pied, on demande :
1° La distance AB;
2° L'heure à laquelle la personne est repartie de B.
Réponse.
partant à 7 h et arrivant à 10h20, elle a mis 3h20 en tout dont
2h20 de trajet
soit x la distance AB
le temps de l'aller t1= 60x/12
le temps du retour t2 = 60x/4
t1+t2 = 60x/12 + 180x/12 = 140 en minutes
240x/12 = 140
1° x= 140*12/240 = 140/20 = 7km distance AB
2° elle a mis pour son trajet aller : 60 * 7 /12 = 35mn
elle est partie à 7h est arrivée en B à 7h35, puis elle est restée en B, 1h
elle est donc repartie de B à 8h35
vérif :
au retour elle a mis : 60*7/4 = 420/4 = 105 mn = 1h45
durée totale du trajet : 35mn + 60mn + 105mn = 200 minutes soit 3h20
459. On a tiré d'abord d'un réservoir un certain nombre de litres d'eau puis, pendant chacun
des trois jours suivants le 1/4 de ce qu'on avait tiré la veille. Pour que le réservoir soit à moitié
plein, il faudrait tirer encore 170 litres d'eau.
Quelle quantité d'eau a-t-on tirée le premier jour sachant que la capacité du réservoir est de
850 litres >
Réponse.
soit x ce que l'on a tiré du réservoir le premier jour
le 2eme jour : x/4
le 3eme jour : x/16
le 4eme jour : x/64
on a donc tiré x + x/4 + x/16 + x/64 = 64x/64 + 16x/64 +4x/64 + x/64= 85x/64
425 = 85x/64 +170
85x/64 = 425 -170 = 255
x= 255 * 64 /85 = 192 litres d'eau tirés le premier jour.
460. Un nombre entier de 6 chiffres commence à gauche par le chiffre 1. Si l'on transporte
ce chiffre 1 à droite du nombre, le nouveau nombre ainsi formé vaut 3 fois le nombre primitif.
Quel était ce nombre ? (On pourra représenter le nombre cherché par 100 000 + x).
Réponse.
1ere solution :
le nombre primitif est :
100 000 + x qui multiplié par 3 est égal à :
(100 000 + x) * 3 = 10x + 1
3x + 300 000 = 10x+1 => 7x= 299999
x= 42 857
le nombre recherché est donc 100 000 + x soit 142 857
2eme solution :
xyzrs1= 3* 1xyzr7 car 3*7 =21
xyzr71= 3* 1xyz57
xyz571= 3* 1xy857
xy8571= 3* 1x2857
428571= 3* 142857
le nombre primitif est 142857.
vérif
3*142857 = 428571
461. Un piéton qui fait 6 km par heure se rend de Versailles à Paris. A 2 km de son point de
départ, il est dépassé par un autobus parti du même point que lui, mais 10 mn plus tard. Après
avoir parcouru encore 11 km 1/3, il rencontre pour la seconde fois le même autobus qui est resté
10 mn à la station terminus et qui retourne à Versailles.
Calculer la distance des stations extrêmes de l'autobus.
Réponse.
à 2km du point de départ le piétion y a passé, à raison de 6 km/h, 20 mn
le car étant parti 10mn plus tard que le piéton, a roulé pendant 2km pendant 20-10= 10mn
le car a donc roulé à une vitesse moyenne de 6*2= 12km/h
soit y la distance entre les 13 1/3 de km et Paris :
dans le temps des 11km 1/3 du piéton le car a parcouru 11km 1/3 + 2y
ce temps à 6km/h est de : 60/6 * 34/3 = 340/3 minutes
roulant à 12 km/h il a parcouru en 340/3 minutes la distance 12/60 * 340/3= 68/3 km (22,6 km)
donc 34/3 + 2y = 68/3 => 2y= 68/3-34/3 = 34/3 => y = 17/3 km
la distance Paris Versailles est de 2 km + 34/3 + 17/3= 19km
462. Dans un atelier, le salaire d'une ouvrière est les 3/4 de celui d'un ouvrier, et celui d'un
apprenti est les 5/9 de celui d'une ouvrière.
Il ressort de la comptabilité de cette entreprise que le salaire journalier global de 12 ouvriers.
8 ouvrières et 6 apprentis est de 738 F. Quel est le salaire journalier de chacun ?
Réponse.
soit x le salaire d'un ouvrier
celui de l'ouvrière est de 3x/4
celui de l'apprenti est de 5/9 * 3x/4 = 15x/36 = 5x/12
12x + 8 * 3x/4 + 6 * 5x/12 = 738
12x + 24x/4 + 30x/12 = 738
12x + 6x + 2,5x = 738
x= 738/20,5 = 36F salaire journalier de l'ouvrier
salaire journalier de l'ouvrière: 3*36/4 = 27F
salaire journalier de l'apprenti : 5*36/12 = 15F
vérif:
12*36 + 8*27 + 6*15 = 432 + 216 + 90 = 738F
463. Un cycliste quitte une ville à 8 h du matin. Sa vitesse est 16 km/h. Un second cycliste
part du même endroit a 8 h 45 mn; Il suit la même route que le premier et, pour le rejoindre,
roule à une vitesse de 30 km/h, mais il ne peut soutenir cette allure; Il doit au bout d'un certain
temps s'arrêter. Il se repose pendant 5 mn, puis repart à la vitesse de 24 km/h. Il rejoint le premier
cycliste à 10 h 15 mn. On demande pendant combien de temps le deuxième cycliste a roulé à
la vitesse de 30 km/h.
Réponse.
le premier cycliste a roulé à 16km/h de 8h à 10h15 soit pendant 2h15 ou 135 mn
il a donc parcouru 16/60 * 135 = 36km
tout se passe comme si le second cycliste était parti à 8h50 et avait roulé d'abord à 30 km/h puis
à 24km/h
soit x la distance parcourue à 30 km/h
il a donc parcouru (36-x) à 24 km/h
il a roulé en tout pendant 10h15 - 8h50 = 1h25 ou 85 mn
60x/30 + 60*(36-x)/24 = 85
2x+ 90 - 5x/2 = 85
5x/2 - 4x/2 = 10/2 =>x = 10 km roulés à 30km/h et donc 26km roulés à 20km/h
464. Une personne place les 3/8 de sa fortune à 5 % et le reste à 4 %; le second placement
rapporte en 9 mois 18 F de plus que le premier en 6 mois.
Quel est le montant de la fortune ?
Réponse.
soit x le montant de la fortune :
3/8 à 5% en 6 mois soit 2,5% sur la période
5/8 à 4% en 9 mois 9*4/12 = 3% sur la période
3x/100 - 2,5x/100 =18 => 0,5x = 18 => x = 36F
465. Deux capitaux, l'un de 4 800 F, l'autre de 5 400 F, sont placés le premier à 5 %, le
second à 4 %. On demande dans combien d'années ces deux capitaux augmentés de leurs intérêts
formeront des sommes égales.
Réponse.
soit x le nombre d'années nécessaire :
4800F à 5%
5400F à 4%
4800 + 4800*5/100*x= 5400 + 5400*4/100*x
4800*5/100*x -5400*4/100*x = 5400 - 4800
240x - 216x =600 =>24x=600
x=600/24 = 25
466. Un commerçant engage dans une entreprise un certain capital. La première année, il
perd 5 % de ce capital, et la deuxième année 8% de ce qui lui reste. La troisième année, il regagne
10% de ce qui lui restait au bout de la deuxième année. Il s'en faut alors de 579 F qu'il ait
reconstitué le capital primitif. Quel était le montant de ce capital ?
Réponse.
soit x le capital
il perd la 1ere année 5x/100
il lui reste 100x/100 - 5x/100 = 95x/100
il perd la deuxième année : 95x/100 * 8/100 = 7,6x/100
il lui reste donc 95x/100 - 7,6x/100 = 87,4x/100
il regagne la 3eme année : 87,4x/100 * 10/100= 8,74x/100
il possède alors 87,4x/100 + 8,74x/100 = 96,14x/100
3,86x/100 = 579 => x= 579 * 100 / 3,86
x= 15 000 F qui est le capital engagé
467. Un négociant en vins a mélangé 3 hl de vin acheté 165 F l'hectolitre avec 2 hl de vin
acheté 90 F l'hectolitre. Quelle quantité d'eau doit-il ajouter pour qu'en vendant le mélange
final 1,35 F le litre, il gagne 25 % sur le prix d'achat ?
Réponse.
soit x la quantité d'eau à rajouter, en hl
quantité de liquide : 2hl + 3hl + xhl = x+5
le prix d'achat est de 3*165 + 2*90 = 495 + 180= 675 F
25 % sur le prix d'achat : 675 * 25/100 = 168,75
donc il achète pour 675F de vin et veut le vendre 843,75F à 135F l'hl
il vend en hl
1,35F le litre = 135 par hl
(x+5) * 135 = 675 + 168,75 = 843,75F
135x + 675 = 843,75
135x=168,75
x= 168,75/135
x= 1,25 hl d'eau à rajouter
vérif :
5hl de vin + 1,25hl d'eau = 6,25hl
s'il vend 135F l'hl => 135 * 6,25 = 843,75F ce qui est correct
=
468. Un père et son fils travaillent dans la même entreprise, et ils ont reçu un salaire total de
561 F. Le père a travaillé 26 jours et le fils, qui gagne par jour 6 F de moins que son père, n'a
travaillé que 19 jours. Trouver le salaire journalier de chacun d'eux.
Réponse.
soit x le salaire journalier du père
le salaire journalier du fils est x-6
26 *x + 19 (x-6) = 561 F
26x + 19x - 114 = 561
45x= 561 + 114 = 675
x= 15F salaire journalier du père
15 -6 = 9F salaire journalier du fils
469. On a deux barriques de vin de qualités différentes. La première contient 220 litres de
vin à 1,70 F le litre, et la deuxième 180 litres de vin à 1 F le litre. On retire de chaque barrique
la même quantité de vin, et on met dans la première ce qu'on a retiré de la deuxième et vice versa.
On demande quelle quantité de vin on a dû ainsi échanger pour que le litre de vin ait la même
valeur dans les deux barriques.
Réponse.
1ere solution
la valeur de la 1ere barrique est de 220 * 1,7 = 374F
la valeur de la 2eme barrique est de 180 *1 = 180F
le total vaut : 554F
chaque barrique doit valoir donc 554/2 = 277F
la 1ere barrique doit contenir :
x * 1,7 + y *1 = 277F ( x nombre de litres à 1,7F et y nombre de litres à 1F)
x + y = 220 => x= 220-y en litres
(220 -y) *1,7 + y = 277
220 * 1,7 - 1,7y + y =277
374 - 277 = 0,7 y
y= 97/0,7 = 970/7 = 138,57 litres environ
2eme solution :
soit x la quantité de vin échangée :
la barrique 1 contient alors 220 - x
la barrique 2 contient alors 180 - x
après transfert :
la valeur de la barrique 1 vaut alors (220 -x) * 1,70 + x * 1
la valeur de la barrique 2 vaut alors (180 -x) * 1 + x *1,70
si (220 -x) * 1,70 + x = (180 -x) * 1 + x * 1,70
220 * 1,7 - 1,7 x + x = 180 -x + 1,7x
374 - 180 = 1,7x - x + 1,7x -x
194 = 1,4x => x= 194/14 = 97/7
x= 138,57 litres échangées
470. L'âge d'un père surpasse actuellement de 5 ans le quadruple de l'âge de son fils; dans
10 ans, l'âge du père sera inférieur de 7 ans au triple de l'âge du fils. Quels sont les âges actuels du
père et du fils ?
Réponse.
soit x l'âge actuel du fils
l'âge du père est : x * 4 +5
si l'âge du fils est x+10
l'âge du père sera : (x+10) *3 -7
4x + 15 = 3x +30 -7
x= 30 -15 -7 = 8ans
l'âge actuel du père est 4*8 + 5 = 37 ans
vérif :
si l'âge actuel du père est 37 ans alors
l'âge actuel du fils est (37-5)/4 = 8ans
l'âge dans 10 ans du père serait donc 47 ans et celui du fils (47 +7)/3 = 54/3 = 18 ans
ce qui est cohérent
471. Deux personnes ont eu à calculer l'intérêt d'un capital placé pendant 96 jours à 3 %.
Les deux réponses diffèrent de 3,6 F car l'une des personnes a supposé l'année de 360 jours tandis
que l'autre l'a considérée comme composée de 365 jours. On demande de calculer le capital.
Réponse.
soit x le capital
calcul des intérêts avec l'année à 360 jours : (x *3/100) * 96/360
calcul des intérêts avec l'année à 360 jours : (x *3/100) * 96/365
(x *3/100) * 96/360 - (x *3/100) * 96/365 = 3,60
2,88x/360 - 2,88x/365 = 3,60
[2,88x * 365 / 360*365] - [2,88x * 360 / 360*365] =3,60 * 360 *365 /360*365
[2,88x * 365 ] - [2,88x * 360 ] =473040
1051,20x -1036,80x = 14,4x = 473040
x= 473 040/14,4 = 32 850 F qui est le capital
472. Une personne a placé 7 500 F à un taux inconnu. On sait que l'intérêt annuel de cette
somme joint a celui de 2 500 F placés à 2 % de plus, font un revenu annuel de 500 F. On demande
à quel taux est placée la première somme.
Réponse.
soit x le taux du placement des 7500F
les intérêts sont:
7500 * x/100 + 2500 * (x+2)/100 = 500
75x + 25x + 50 = 500
100x= 450
x= 4,5% qui est le taux du placement des 7500F
473. Une personne dépensait le 1/3 de son revenu annuel pour sa nourriture, 2/5 pour ses
vêtements et frais divers, 1 160 F pour son loyer et elle économisait le reste.
Elle réduit du tiers ses dépenses pour vêtements et frais divers ce qui lui permet de tripler
ses économies. Quel est le revenu de cette personne?
Réponse.
soit x le revenu annuel
dans un premier temps il lui restait donc :
x- 5x/15 - 6x/15 - 1160 = 4x/15 -1160
dans un deuxième temps il lui reste :
x - 5x/15 - (2/3) * (6x/15) -1160 =6x/15 -1160
or il est énoncé que :
6x/15 -1160 = 3*(4x/15 -1160)
6x/15 = 3480 - 1160 =2320 et
x= 2320*15/6 = 5800F
474. Dans un cinéma la recette totale a été de 861,20 F pour 350 places, les unes à 2,20 F, les
autres à 3 F. Quel était le nombre des places occupées dans chaque catégorie ?
Réponse.
soit x le nombre de places à 2,20F
donc 350-x est le nombre de places à 3F
2,2x + (350-x) *3 = 861,20
2,2x - 3x + 1050 = 861,20
1050 - 861,20 = 0,8x
x= 188,8/0,8 = 236 nombre de places à 2,20F
et donc il reste 114 places à 3F
475. Un patron veut distribuer une gratification à ses ouvriers. S'il donne à chacun 60 F,
il lui reste 800 F sur la somme qu'il se propose de répartir, mais s'il donne à chacun 70 F il lui
manque 400 F.
Quel est le nombre des ouvriers et la somme à distribuer ?
Réponse.
soit x le nombre d'ouvriers
soit s la somme à distribuer
s- 60x = 800 => s= 800+60x
s-70x = -400
800 + 60x - 70x = -400
1200 = 10x
x= 1200/10 = 120 nombre d'ouvriers
s= 800+ 60*120 = 8000F
476. Un enfant possède un certain nombre de billes; il en gagne une, puis perd le tiers de
ce qu'il possède; il en gagne 4 et perd à nouveau le tiers de ce qu'il possède. Il gagne à nouveau
8 billes et en possède alors le même nombre qu'au début de la partie. Combien avait-il de billes ?
Réponse.
soit x le nombre de billes
on rajoute une bille x+1
puis il perd 1/3 et en rajoute 4
(x+1) - 1/3 *(x+1) + 4 = x + 5 -x/3 -1/3 = 3x/3 + 15/3 -x/3 -1/3 = 2x/3 +14/3
puis il en perd le tiers:
[2x/3 + 14/3] puis [2x/3 + 14/3] - 1/3*(2x/3 + 14/3)
puis il en gagne 9
6x/9 + 42/9 - 2x/9 - 14/9 + 72/9 = 9x/9
6x + 42 -2x -14 + 72 = 9x => 5x=100
x= 20 nombre de billes au départ
vérif :
il a donc 20 billes au départ.
il gagne une bille = 21
il perd le tiers donc 7 , il lui reste 14
il en gagne 4 : il en a 18 maintenant
il perd le tiers des billes soit 6, il lui en reste 12
il gagne 8 billes et il en a 20 de nouveau
477. Deux bateaux partent en même temps, l'un montant, l'autre descendant une rivière.
La vitesse de celui qui remonte le courant est les 3/5 de celle du bateau qui descend. L'intervalle
qui sépare les points de départ est de 8,8 km. Quelles sont les distances qui séparent les points de
départ du point où les bateaux se rencontreront ?
Réponse.
:
au moment de la rencontre lorsque le plus rapide aura parcouru 3
l'autre aura parcouru 5
soit 5/8 et 3/8
le deuxième aura parcouru les 3/8
8,8 * 3/8 =3,3km de B vers A
le plus rapide aura parcouru 5/8
8,8 *5/8 = 5,5km de A vers B
la somme des parcours fait bien 8,8 km
478. 25 ouvriers et 12 ouvrières travaillent dans une fabrique. Le salaire journalier d'une
ouvrière est les 2/3 de celui d'un ouvrier. Le patron paye, chaque jour, à ces deux groupes de
travailleurs une somme totale de 396 F. Calculer le salaire journalier d'un ouvrier et celui d'une
ouvrière.
Réponse.
soit x le salaire d'un ouvrier
le salaire d'une ouvrière est de 2x/3
25x + 24x/3=396
25x+ 8x = 396
33x=396
x=12F salaire de l'ouvrier
le salaire de l'ouvrière est donc de 8F
479. Deux frères ont hérité de la même somme : au bout de quelques années, l'aîné a aug-
menté son capital de ses 9/20 et le plus jeune a dépensé les 3/4 du sien. L'aîné possède alors 3 180 F
de plus que son frère. Quel était le montant de l'héritage et quel est actuellement le capital de
chaque frère ?
Réponse.
soit x la somme hérité
20x/20 + 9x/20 = 5x/20 + 3180
24x/20 = 3180
x= 20 * 3180/24 = 2650F montant de l'héritage
capital actuel de l'aîné : 2650 + 9 *2650/20 = 3842,50F
capital actuel de son frère : 3842,50 - 3180 = 662,50F
480. Le capital d'un commerçant s'est accru des 3/8 de sa valeur pendant la 1re année; pendant
la 2e année, il a diminué de 1/5 de ce qu'il était après la 1re année; le bénéfice de la 3e année repré-
sente 1/15 du capital primitif. Au bout de ces 3 années, l'avoir du commerçant est égal à 18 200 F.
Combien ce commerçant avait-il ?
Réponse.
soit x le capital du commerçant
au bout de la première année le capital est x + 3x/8
au bout de la deuxième année le capital est 4/5 *(x + 3x/8)
au bout de la 3eme année le capital est augmenté de x/15
le nouveau capital est donc 4/5 * (x + 3x/8) +x/15 et vaut 18 200F
4x/5 + 3x/10 + x/15 = 18200
24x/30 + 9x/30 + 2x/30 =18200
35x/30 = 18200 = 7x/6
x= 18200 * 6 /7 = 15600F qui était le capital du commerçant
481. Deux personnes possèdent : l'une 1 200 F; l'autre 1 848 F. Elles dépensent la même
somme, et ce qui reste à la première est alors égal aux 5/8 de ce qui reste a la deuxième. Quelle
est leur dépense ?
Réponse.
soit x la somme dépensée
1200 - x = 5/8 * (1848-x)
1200 - 8x/8 = 1155 - 5x/8
1200 - 1155 = 3x/8
405 = 3x/8
3x = 8 * 405
x = 1080F qui est leur dépense
482. Quel nombre faut-il ajouter aux deux termes de la fraction 13/17 pour obtenir une
fraction égale à 9/11 ?
Réponse.
soit x ce nombre
13+x / 17+x = 9/11
11*(13+x) = 9*(17+x)
143 +11x = 153 + 9x
2x= 10 =>x = 5
483. Quel nombre faut-il retrancher aux deux termes de la fraction 53/67 pour obtenir une
fraction égale à 7/9 ?
Réponse.
soit x ce nombre
53-x / 67-x = 7/9
9*(53-x) = 7* (67-x)
477 - 9x= 469 - 7x
2x= 477-469= 8
x=4
484. Quel nombre faut-il ajouter au dénominateur et retrancher au numérateur de 31/69
pour obtenir une fraction égale à 1/3 ?
Réponse.
soit x ce nombre
31-x / 69 +x = 1/3
3*(31-x) = 69+x
93-3x = 69+x
4x= 93-69 =24
x=6