Calcul 3
Mathématiques, classe de 5ème Librairie classique Eugène Belin, Paris 1961
585. Un cultivateur, qui veut connaître la longueur de ses pas, compte le nombre de pas qu'il doit faire pour parcourir la distance de deux bornes kilométriques voisines. Il fait 1 246 pas dans un sens et 1 254 dans l'autre.
Quelle est la longueur moyenne d'un pas ? Il mesure au pas les dimensions d'un champ rectangulaire et fait 285 pas dans la longueur et 215 sur la largeur.
Quelle est approximativement l'aire du champ ? Réponse.
le nombre de pas moyen est de (1254 + 1246)/2 soit 1250 pas pour 1000m
1 pas = 1000/1250 = 80 cm
la longueur est environ 285 *0,80 = 228 mètres
la largeur est environ de 215*0,8 = 172m
l'aire du champ est d'environ : 228*172= 39 216 m2 ou 3,9216 ha                       


                    
586. Deux frères se rendent au collège. L'aîné fait 2 pas pendant que l'autre fait 3 pas. En 100 pas, l'aîné sait qu'il peut aller d'un bout à l'autre d'une cour qui a 48 m de long. En allant de leur maison au collège, l'aîné fait 250 pas de moins que son frère. 1° Quelle est la distance de la maison au collège? 2° Quelle est la longueur de chaque pas du plus jeune ? Réponse.
 1ere solution :
 100 pas de l'aîné font 48 m et un pas fait 0,48m ou 48 cm
le pas du plus petit fait donc 48*2/3 = 32 cm
soit x le nombre de pas de l'aîné jusqu'au collège
le plus jeune fera 3x/2
3x/2-x =250 ou 3x/2 - 2x/2 =250
x/2 = 250 et donc x=500
la  distance est de 500*0,48= 240m

 2eme solution :
100 pas de l'aîné font 48 m et un pas fait 0,48m ou 48 cm
l'aîné fait le double de pas de la difference entre l'aîné et l'autre, soit 500 pas
la distance est donc de 500 * 0,48 = 240m
le pas du plus jeune 240/(500+250) = 32 cm

                    
587. Deux ménagères s'entendent pour acheter en commun un gros poisson. Chez le mar- chand, le poisson pesait 3,6 kg et il a été payé 2,50 F le kg.
Quel est son prix d'achat ? Le poisson est vidé. Il ne pèse plus que 3 kg. L'une des ménagères en prend 1,4 kg et l'autre garde le reste.
Combien chacune doit-elle payer? Réponse.
prix d'achet : 3,6*2,50 = 9F
vidé chaque kilo revient à 9F/3kg = 3F
la ménagère qui prend 1,4kg paiera 1,4 * 3 = 4,20F
l'autre ménagère aura 1,6 kg et paiera 1,6*3 = 4,80F

                    
588. La plaque posée à l'entrée de la ville de Bolbec, sur la route de Rouen au Havre, porte les indications ci-contre :

1° Quelle est la distance de Yvetot au Havre et celle de Lanquetot à Yvetot ? 2° A 8 heures, un piéton se trouve sur cette route en face d'une borne kilométrique indiquant : Yvetot 15 km. Quand il passe devant la borne suivante il lit : Yvetot 14 km et il note l'heure : 8 h 10 mn.
Se dirige-t-il vers Yvetot ou vers Le Havre ?
Quelle est sa vitesse horaire?
S'il continue à marcher à la même vitesse, à quelle heure atteindra-t-il la borne sur laquelle il lira Yvetot 2 km ? Réponse.
distance de Yvetot au Havre : 30 + 22 = 52km
distance de Lanquetot à Yvetot : 22 - 5 = 17km
le piéton se rapproche d'Yvetot et il a fait, en 10 mn, 1km 
donc en 1 heure il fera 6km, il se déplace donc à 6km/h
si à 8 h il est à 15 km d'Yvetot, il lui faudra parcourir 13 km pour arriver à 2 km d'Yvetot.
pour un kilomètre il lui faut 10 minutes, pour 13 km il lui faudra 13*10mn soit 130mn ou 2h10
il sera alors 8h + 2h10 soit 10h10.

                    
589. Un Français est allé en Angleterre en emportant 600 F. Combien a-t-il reçu de livres (monnaie anglaise) en échange (le taux de change est 11,76F pour 1 livre) ? En Angleterre, il constate qu'il peut acheter un costume pour 24 livres.
Exprimez en francs le prix de ce costume.
En France, le même costume vaut alors 440 F. Comparez ces deux prix. Au restaurant, un repas lui revient à 6 shillings et 8 pence. Une livre vaut 20 shillings et 1 shilling vaut 12 pence. Calculez en francs le prix de ce repas. En France, le même reviendrait à peu près à 5,40F. Comparez ces deux prix. Réponse.
si 1 livre vaut 11,76 F alors 1F vaut 1/11,76 livres
pour 600F il aura 600/11,76 = 51,02 livres
24 livres = 11,76F*24 =282,24 F
le costume est plus cher en France de 440/282,24 = 1,56 fois
le repas lui coûte en Angleterre  6*12 + 8 = 80 pence
1 livre vaut 20*12 pence soit 240 pence
donc 240 pence valent 11,76F 
80 pence valent donc (11,76/240)*80 = 3,92F
le repas est 1,38 fois plus cher en France

                    
590. Un peintre doit écrire les mots ECOLE-MAIRIE. Il dispose d'un emplacement ayant la forme d'un rectangle de 2 m sur 0,50 m. Il pensait donner à chaque lettre 30 cm de haut et 15 cm de large ( les I ayant 2 cm de large), laisser 5 cm entre deux lettres et 25 cm entre les deux mots, Quelle serait la longeur totale du texte? Il envisage alors une autre disposition. Les lettres conservent leur grandeur, mais les intervalles entre les lettres sont un peu réduits et la distance séparant les mots ramenée à 22 cm, de façon que les extrémités du texte soient à 15 cm des bords du rectangle. Dans ce cas, quelle sera la distance entre deux lettres ? Réponse.
1ere disposition des lettres:
ECOLE ferait donc 15cm * 5 = 75 cm plus 4 espaces soit 20 cm = 95cm , l'espace entre les mots ferait 25 cm
MAIRIE ferait 4*15 + 2*2 + 5*5 = 89cm
le total : 95 + 25 + 79 = 209 cm
l'emplacement n'est pas assez grand

2eme disposition des lettres:
il faut donc récupérer 39 cm sur la longueur totale
on récupère 3 cm entre les mots il reste 36cm à trouver.
il y a 9 espaces entre les lettres, il faut donc récupérer 36/9cm soit 4cm 
la distance entre deux lettres sera donc 5-4 = 1cm

                    
591. On recouvre, avec des carreaux de faïence de forme carrée, une partie de mur rectangulaire de 1,35m de long sur 90 cm de large. Les carreaux du pourtour sont bleus, les autres sont blancs. Ils ont tous 15 cm de côté.
1° Calculer le nombre total des carreaux.
2° Calculer le nombre des carreaux bleus.
3° Les carreaux bleus valent 60 F le cent, les blancs valent 0,50 F pièce.
Quelle sera la dépense totale ? Réponse.
en longueur on peut mettre 9 carreaux
en largeur on peut mettre 6 carreaux
le total des carreaux sera de 54
le pourtour sera composé de 9+9+4+4 = 26 carreaux bleus à 0,60F pièce, ce qui fait 15,60F
et donc il y aura 28 carreaux blancs à 0,50F piece, ce qui fait 14F
la dépense totale sera de 29F60

                    
592. Un champ rectangulaire mesure 72 m sur 25 m. On a construit une maison de 15 m sur 12 m dont la façade de 15 m parallèle a un petit côté, est située à 15 m de ce dernier et a égale distance des grands côtés. Tout le reste du terrain est cultivé. Faites le plan a l'échelle de 1/1000. La surface des allées couvre 150 m2.
Quelle est l'aire de la surface cultivée ? Réponse.
la surface totale du terrain est de 72 * 25= 1800m2
la surface de la maison est de 12*15=180m2
la surface des allées étant de 150m2

il reste en surface cultivable 1800-180-150= 1470m2

                    
593. On veut carreler le sol d'une cuisine de 4,80 m de long sur 3,60 m de large. On a le choix entre des carreaux de 24 cm de côté valant 0,70 F pièce et des carreaux de 15 cm valant 0,45 F pièce. Quel est le carrelage le plus économique? Quel est le prix des carreaux? Réponse.
si l'on choisi des carreaux de  24cm il en faudra 20*15 = 300 carreaux soit à 0,70 pièce 210F
si l'on choisi des carreaux de  15cm il en faudra 32*24 = 768 carreaux soit à 0,45 pièce 345,60F
les plus économiques sont les carreaux de 24cm

                    
594. Un jardin rectangulaire, long de 38 m, a une aire totale de 5,70 ares. On le divise en quatre rectangles égaux par deux allées en croix de 1,20 m de large. Faites le croquis. 1° Quelle est la largeur du jardin ? 2° Calculez en mètres carrés l'aire de la surface cultivable. Réponse.
5,70a= 570m2
largeur du terrain 570/38 = 15m
la surface de l'allée horizontale est de 38*1,20 = 45,6 m2
la surface de l'allée vericale moins son centre est de (15-1,2)*1,2 soit 16,56m2
la surface cultivable est de 570-(45,6+16,56)= 507,84m2

                    
595. Le 15 août, à 8 h. Pierre s'en va en vacances. Il revient le 20 septembre à 19 h. Il constate qu'il a mal fermé le robinet de sa barrique de vin, lequel laisse goutter un peu de liquide. Afin de connaître la quantité perdue, Pierre met sous le robinet un verre qui vide, pèse 160 g; il le pèse 4 heures après et trouve alors 192 g. 1° Si l'on compte qu'un litre de vin pèse approximativement 1 000 g, quelle a été la perte en litres pendant l'absence de Pierre ? 2° On a pris 1 000 g pour poids du litre de vin alors qu'en réalité un litre de vin pèse 998 g. Si l'on prenait ce dernier nombre, le résultat serait-il modifié d'une manière appréciable ? Réponse.
absence de Pierre en heures :
le 15 août :16h
le 20 septembre : 19h
en août 16 j soit 384h
en septembre 19 jours soit 456h

il a donc été absent 875h
poids du vin dans le verre en 4 heures 192-160=32g et donc en 1 heure 8g
la perte en poids est donc de 875*8= 7 000g ou 7kg 
1°) si on prend 1kg pour 1 litre de vin, cela ferait en litres : 7 litres
2°) si un litre de vin vaut 998g alors le volume serait de 7000/998= 7,014 litres
en prenant 1kg au lieu de 0,998kg  on fait une erreur de 2 pour 1000.

                    
596. Un libraire a acheté des dictionnaires à 195 F la douzaine. On lui accorde gratuitement un volume en plus de chaque douzaine et en payant comptant, il obtient une remise de 20% on demande : 1° le prix d'achat et le prix de revient d'un dictionnaire; 2° le bénéfice réalisé s'il vend chaque dictionnaire 15 F; 3° le bénéfice % sur le prix de revient. Réponse.
il obtient 20% de remise soit : 195*20% = 39F
il obtient 13 dictionnaires pour (195-39) = 156F 
chaque dictionnaire a pour prix de revient 156/13 = 12F; 
à 15F prix de vente, il fait 3F de bénéfice par dictionnaire et donc pour 13 il fera 39F de bénéfice.
son bénéfice x en % est de 12x/100 =3
                        x=300/12=25%
                    
597. Deux montres A et B sont réglées sur l'horloge parlante de l'Observatoire le mardi 1er novembre à 12 heures. La montre A retarde de 2 mn 1/2 par jour, la montre B avance de 4mn 1/4 par jour. 1° Quel sera l'écart entre les heures marquées par les deux montres, le vendredi 4 novembre au moment où l'horloge parlante de l'Observatoire marquera 4 heures? 2° Quel jour et à quelle heure exacte l'écart entre les heures marquées par les 2 montres sera-t-il de 21 mn 45 s ? Réponse.
1° le mardi 1er novembre il s'écoulera 12h et le vendredi 4 novembre 4h
les 2 et 3 il s'écoulera 48h et donc au total 64 heures
2mn30= 150s et 4mn 1/4= 255s
64 = 24 + 24 + 16 = 2j 2/3
la montre A aura retardé  2*150 +2/3*150 =400s
la montre B aura avancé de 2*255 + 2/3*255 =510+170 =680s
l'écart sera de 1080s = 18mn

2° le retard est de 21 mn 45 ou 1305s
1ere solution :
soit x la durée en jours qui va s'écouler
2mn30 * x + 4mn15*x =  1305s
6mn45 * x =1305s or 6mn45=405 secondes

405x=1305 => x =1305/405 =261/81=29/9 = 27/9 + 2/9 = 3 jours + 2/9j
2/9 de jour = 48/9 ou 16/3 d'heures soit 5 heures et 1/3 d'heure ou 5h20mn
il faudra donc attendre 3 jours 5h et 20 minutes
nous serons le 4 à 17h et 20mn

2eme solution :
en secondes et en fractions de la durée :
A retarde de 150 secondes par jour ou pour 86 400 s ou 1/576 eme 
B avance de 255 secondes par jour pour 86 400 s ou 51/17280 eme
l'écart est de 1/576 + 51/17280 =81/17280  =3/640 de la durée
3/640 *duree = 1305
1305*640/3= durée = 835200/3 =278 400 secondes = 3j et reste 19 200 secondes                        
19 200 secondes = 5 h et reste 1200s
1200s = 20 mn
il faudra donc attendre 3 jours 5h et 20 minutes
nous serons le 4 à 17h et 20mn
                    
598. Jean a mis sa montre à l'heure le 12 janvier à 12 heures. Le soir, à 18h il constate que sa montre marque 18 h 6 mn. 1° De combien cette montre avance-t-elle par jour? 2° Si on la met à l'heure le 13 janvier à 8 heures, quelle heure marquera-t-elle le 13 janvier à 18h . Réponse.
de 12h à 18h il y a 6 heures et sa montre a avancé de 6mn, soit 1mn par heure
1° sa montre avance donc de 24mn en 24h
2° entre 8h et 18h il y a 10h, la montre avancera de 10mn, la montre affichera 18h10mn.

                    
599. La grande aiguille d'une horloge de clocher a 0,42 m de longueur. 1° Quelle est la longueur du chemin parcouru par la pointe de cette aiguille en 1 heure ? 2° Quelle est la longueur du chemin parcouru en 20 minutes? 3° De quel angle cette aiguille tournera-t-elle en 20 minutes ? Réponse.
la pointe de l'aiguille décrit un cercle de rayon 42 cm durant un tour complet, soit une heure ; 
1° en 1h l'aiguille parcourera 2*pi*r et donc 2*3,1415*43 = 270,17 cm
2° 20mn = 1/3 d'une  heure : en 20mn l'aiguille parcourera 1/3 du cercle soit environ 90cm 
3° si en 30mn l'aiguille tourne de 180° alors en 20mn l'aiguille tournera d'un angle égal à 180*2/3 soit 120°
                    

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